Geometria e Algebra Lineare
Sistemi lineari, matrici, spazi vettoriali e applicazioni lineari: il programma svolto finora, con il MEG interattivo in aritmetica esatta, i teoremi a passi coperti ed esercizi con suggerimenti progressivi.
- Lezione 3, seconda parte: sottospazi, combinazioni lineari e span in fondo alla Sezione 3.
- Lezioni 4–6: la nuova Sezione 5 con applicazioni lineari, nucleo e immagine, basi e dimensione, matrice rappresentativa, passaggio tra basi, rette e piani, dipendenza lineare e rango + nullità.
- Teoremi ed esercizi: tredici dimostrazioni nuove nei teoremi ed esercizi G3.5–G3.9 e G5.1–G5.23 nella palestra.
- Esercitazioni del 23 settembre e del 7 ottobre: gli esercizi del tutor, con le soluzioni verificate, sono G1.5–G1.11, G2.13–G2.15, G3.10–G3.13 e G5.24.
- Non ho informazioni sull'esame. Fra il materiale non c'è un documento tipo «modalità d'esame» con struttura, punteggi o soglie. Se lo trovi sul drive, aggiungilo: taro il sito su quello.
- Le stelline qui sono redazionali. A differenza di Analisi — dove il programma ufficiale marca con (*) e (**) le dimostrazioni richieste — qui non esiste un elenco simile. risultato centrale e da conoscere indicano il peso del risultato secondo questi appunti, non una richiesta della docenza.
I tuoi progressi
Le sezioni
0 · Preliminari e linguaggio
Insiemi e quantificatori, lo spazio $\K^n$, il prodotto scalare standard. Il vocabolario che il prof dà per acquisito dalla prima lezione.
1 · Sistemi lineari e metodo di Gauss
Dalla scrittura alla matrice completa, operazioni elementari, matrici a scala, pivot, rango e il criterio dello 0-pivot.
2 · Algebra delle matrici e invertibilità
Prodotto righe per colonne, struttura delle soluzioni, Rouché-Capelli, inversa, Cramer, Gauss-Jordan ed equazioni di matrici.
3 · Vettori e spazi vettoriali
Invertibilità del prodotto, vettori liberi e regola del triangolo, gli otto assiomi, applicazioni e controimmagini, sottospazi e span.
4 · Numeri complessi
Il campo $\C$ dal lato dell'algebra lineare. Se hai già fatto la Sezione 1 di Analisi, qui trovi soprattutto raccordi.
5 · Applicazioni lineari, basi, dimensione, rango
Nucleo e immagine, basi e dimensione, matrice rappresentativa e passaggio tra basi, rette e piani, dipendenza lineare, rango + nullità.
🎯 Teoremi e dimostrazioni
I risultati principali a passi coperti: Rouché-Capelli, struttura delle soluzioni, condizioni di invertibilità, Cramer, nucleo e immagine, rango + nullità.
✎ Palestra esercizi
Riduzioni a scala, discussioni con parametro, calcolo dell'inversa, vero/falso sulle proprietà del prodotto.
Il filo del corso
Vale la pena vedere fin d'ora dove porta tutto questo, perché i risultati si incastrano in una catena sola:
- Le operazioni elementari non cambiano le soluzioni → si può trasformare il sistema senza perderne le soluzioni.
- Il MEG termina sempre → si arriva sempre a una matrice a scala.
- Una matrice a scala si legge → 0-pivot ⟹ incompatibile; altrimenti $n-r$ incognite libere.
- Rouché-Capelli è la traduzione del punto 3 nel linguaggio dei ranghi.
- La struttura delle soluzioni dice che l'insieme è $\vx_0+$ (soluzioni dell'omogeneo).
- Le condizioni di invertibilità sono il caso particolare $m=n$ e $r=n$.
- Le soluzioni dell'omogeneo sono un sottospazio: $\ker A$, il nucleo di $L_A(\vx)=A\vx$.
- Rango + nullità rilegge «$n-r$ incognite libere» come $\dim\ker A=n-r(A)$: il rango è la dimensione dell'immagine.
I numeri complessi li trovi già trattati a fondo nella Sezione 1 di Analisi: forma trigonometrica, de Moivre, radici $n$-esime, con il piano di Argand interattivo. Qui cambia solo l'uso che se ne fa — risolvere sistemi su $\C$ e, più avanti, trovare autovalori. Non studiarli due volte.
Sull'esame
Da quel che hai capito c'è un parziale, ma nel materiale caricato non c'è nulla che ne descriva struttura, punteggi o soglie — a differenza di Analisi, dove il PDF «Modalità d'esame» le specifica con precisione. Finché non arriva quel documento, questo sito non simula la prova: si limita a coprire il programma. Se lo recuperi, posso aggiungere una simulazione cronometrata come quella di Analisi.
Materiale del corso
📄 Materiale preliminare
Slide del prof: insiemi, notazione, $\R^n$ e $\C^n$, quantificatori.
📓 Lezione 1
Sistemi lineari, matrici, MEG. Riferimento: ALG cap. 2, pp. 67-74 e 84-94.
📓 Lezione 2
Algebra delle matrici, Rouché-Capelli, Cramer, inversa. ALG cap. 2 pp. 75-81 e 94-105; cap. 3 §§1-5.
📓 Lezione 2 bis
Eliminazione di Gauss-Jordan e calcolo della matrice inversa. ALG cap. 3, §6.
📓 Lezione 2 tres
Tre esempi di equazioni con matrici incognite.
📓 Lezione 3
Invertibilità del prodotto, vettori euclidei, spazi vettoriali, applicazioni. ALG §1.3, p. 122, §§4.1-4.2.
📓 Lezione 4
Applicazioni lineari, nucleo e immagine, sistemi di riferimento, basi e dimensione, matrice rappresentativa, isomorfismi.
📓 Lezione 5
Passaggio tra basi e tra riferimenti, rette e piani in forma cartesiana e parametrica, uno span come nucleo di una matrice.
📓 Lezione 6
Dipendenza lineare, condizioni di base, basi di nucleo e di span, rango di una matrice e di una mappa, rango + nullità.
✎ Esercitazione del 23 settembre
Rango con il MEG, sistemi e Rouché-Capelli, un sistema con parametro, la parabola per tre punti. Diventati G1.5–G1.11 e G2.13–G2.15.
✎ Esercitazione del 7 ottobre
Indipendenza con parametro, sottospazi (anche da temi d'esame), un vettore nello span. Diventati G3.10–G3.13 e G5.24.
📄 Numeri complessi
Appendice I del libro di teoria.
📖 Pagine dal libro di teoria
Capitolo 2, «Sistemi lineari».
✎ Pagine dal libro di esercizi
Esercizi svolti sul capitolo 2.
[ALG] E. Schlesinger, Algebra lineare e geometria. È il testo a cui rimandano le lezioni; i riferimenti di pagina nelle checklist puntano lì.