Vettori e spazi vettoriali
Il salto di astrazione del corso: si parte dalle frecce disegnate sul foglio e si arriva a otto assiomi che valgono anche per matrici, polinomi e funzioni. Da qui in poi «vettore» smette di voler dire «freccia». In fondo, i sottospazi e lo span: gli spazi vettoriali che vivono dentro altri spazi vettoriali.
I vettori del piano e le matrici $m\times n$ si sommano e si moltiplicano per uno scalare con le stesse regole. Invece di dimostrare due volte gli stessi teoremi, si isola ciò che serve — le otto proprietà — e si dimostra una volta sola per qualunque insieme che le soddisfi. È lo stesso movimento che in Analisi porta da «$\R$ o $\C$» a $\K$.
- Lezione 3, seconda parte: sottospazi con esempi e non-esempi, combinazioni lineari, lo span è un sottospazio (dimostrazione a passi coperti) e perché le soluzioni di $A\vx=\vzero$ sono un sottospazio e quelle di $A\vx=\vb$ no.
- Lezioni 4–6: applicazioni lineari, nucleo e immagine, basi e dimensione, matrice rappresentativa, passaggio tra basi, rette e piani, dipendenza lineare, rango e il teorema di rango + nullità sono nella nuova Sezione 5.
- Esercizi: G3.5–G3.9 su sottospazi, span e traslazioni; dall'esercitazione del 7 ottobre G3.10–G3.13 (sottospazi da temi d'esame e un vettore nello span al variare di $k$).
Checklist del programma
1 · Invertibilità del prodotto di matrici risultato centrale
Siano $A,B$ quadrate dello stesso ordine $n$. Allora $$AB\ \text{è invertibile}\iff A\ \text{e}\ B\ \text{sono entrambe invertibili},$$ e in tal caso $\;(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$.
Dimostrazione a passi coperti
Per matrici rettangolari l'enunciato è falso. Con $A$ di tipo $1\times2$ e $B$ di tipo $2\times1$, il prodotto $AB$ è $1\times1$ e può benissimo essere invertibile, mentre $A$ e $B$ non sono nemmeno quadrate: parlare della loro inversa non ha senso.
2 · Vettori nella geometria euclidea
Segmenti orientati e vettori liberi
Un segmento orientato $\overrightarrow{AB}$ è una coppia ordinata di punti. Due segmenti orientati si dicono equipollenti se hanno la stessa direzione, lo stesso verso e la stessa lunghezza.
Un vettore libero $\vec u$ è una classe di segmenti orientati equipollenti fra loro: è il segmento «a meno di dove lo disegni».
L'equipollenza è una relazione di equivalenza (riflessiva, simmetrica, transitiva): è questo a rendere lecito parlare della classe. Ogni vettore libero ha un rappresentante che parte da qualunque punto si voglia — proprietà usata subito per definire la somma.
La somma, e perché è ben posta risultato centrale
Dati due vettori liberi $\vec u$ e $\vec v$, si fissa un punto qualsiasi $A$ e si pone $$B:=\tau_{\vec u}(A),\qquad C:=\tau_{\vec v}(B),$$ dove $\tau_{\vec w}$ indica la traslazione secondo $\vec w$.
Il vettore $\vec w$ rappresentato da $\overrightarrow{AC}$ si chiama somma di $\vec u$ e $\vec v$: $\;\vec w=:\vec u+\vec v$.
Il vettore rappresentato da $\overrightarrow{AC}$ non dipende dalla scelta del punto $A$: è determinato univocamente da $\vec u$ e $\vec v$.
Perché questo «fatto» è indispensabile
Perché senza di esso la definizione sarebbe mal posta: la somma dipenderebbe da una scelta arbitraria — il punto $A$ — e quindi non sarebbe una vera operazione fra vettori.
È la stessa cautela che serve ogni volta che si definisce qualcosa su classi di equivalenza: bisogna controllare che il risultato non cambi cambiando rappresentante. Nel widget qui sopra puoi verificarlo trascinando $A$.
$$\vec u+\vec v=\vec v+\vec u\ \ \text{(commutatività)},\qquad \vec u+\vec 0=\vec 0+\vec u=\vec u.$$ La commutatività si legge nel parallelogramma: partendo da $A$ con $\vec u$ poi $\vec v$, oppure con $\vec v$ poi $\vec u$, si arriva allo stesso punto $C$.
Vettore opposto e prodotto per uno scalare
- L'opposto $-\vec v$ è il vettore con stessa direzione e lunghezza di $\vec v$ ma verso contrario; vale $\vec v+(-\vec v)=\vec 0$.
- La differenza è $\vec u-\vec v:=\vec u+(-\vec v)$.
- Per $\lambda\in\R$, il vettore $\lambda\vec v$ ha lunghezza $|\lambda|$ volte quella di $\vec v$, stessa direzione, e verso concorde se $\lambda>0$, opposto se $\lambda<0$. Se $\lambda=0$ oppure $\vec v=\vec 0$, si ottiene $\vec 0$.
Due vettori non nulli si dicono paralleli se uno è multiplo scalare dell'altro. Il vettore nullo non ha direzione né verso, e si considera parallelo a tutti.
Componenti: dal piano a $\R^{2}$
Fissato un sistema di riferimento, ogni vettore libero del piano si scrive in modo unico come $\vec v=(x,y)$, e la corrispondenza è biunivoca. Le operazioni geometriche diventano operazioni sulle componenti:
$$\vec u+\vec v=(x_1+x_2,\ y_1+y_2),\qquad \lambda\vec v=(\lambda x,\ \lambda y).$$Analogamente per lo spazio con $\R^{3}$. È il ponte fra la geometria del disegno e l'algebra dei conti: da qui in poi si può fare geometria senza disegnare.
3 · Spazi vettoriali
Sia $V$ un insieme non vuoto su cui sono definite due operazioni:
- la somma: $V\ni \vu,\vv\ \longmapsto\ \vu+\vv\in V$;
- il prodotto per uno scalare: $\lambda\in\K,\ V\ni\vv\ \longmapsto\ \lambda\vv\in V$.
Se queste due operazioni soddisfano le otto proprietà (i)–(viii), allora $V$ si dice spazio vettoriale (o spazio lineare) sul campo $\K$.
- $V$ non vuoto. Serve perché esista almeno un elemento su cui applicare gli assiomi; e dall'assioma (iii) segue che $V$ contiene sempre almeno il vettore nullo.
- Le operazioni devono «restare dentro» $V$ (chiusura): $\vu+\vv$ e $\lambda\vv$ devono appartenere ancora a $V$. È la prima cosa da verificare negli esercizi, e la più dimenticata.
Gli otto assiomi
| (i) | $\vu+\vv=\vv+\vu$ | commutatività |
| (ii) | $(\vu+\vv)+\vw=\vu+(\vv+\vw)$ | associatività |
| (iii) | $\exists\,\vzero$ tale che $\vv+\vzero=\vv$ | elemento neutro |
| (iv) | $\forall\vv\ \exists(-\vv)$ tale che $\vv+(-\vv)=\vzero$ | opposto |
| (v) | $\lambda(\vu+\vv)=\lambda\vu+\lambda\vv$ | distributiva |
| (vi) | $(\lambda+\mu)\vv=\lambda\vv+\mu\vv$ | distributiva |
| (vii) | $\lambda(\mu\vv)=(\lambda\mu)\vv$ | associatività del prodotto |
| (viii) | $1\,\vv=\vv$ | normalizzazione |
I primi quattro dicono che $(V,+)$ è un gruppo commutativo: somma commutativa, associativa, con zero e con opposto. Gli altri quattro dicono che il prodotto per scalare si comporta bene rispetto alle due somme (quella dei vettori e quella degli scalari), rispetto al prodotto fra scalari, e che l'$1$ non fa niente.
L'assioma (viii) sembra superfluo ma non lo è: senza di esso si potrebbe definire $\lambda\vv:=\vzero$ per ogni $\lambda$, e tutti gli altri sette sarebbero soddisfatti.
Gli esempi che contano
| Spazio | Campo | Chi sono i «vettori» |
|---|---|---|
| $\R^{n}$ | $\R$ | $n$-uple di reali |
| $\C^{n}$ | $\C$ | $n$-uple di complessi |
| vettori liberi del piano | $\R$ | classi di segmenti orientati |
| vettori liberi dello spazio | $\R$ | idem, in 3D |
| $\M_{\K}(m,n)$ | $\K$ | matrici $m\times n$ a entrate in $\K$ |
| polinomi di grado $\le n$ | $\K$ | polinomi |
| funzioni $f:X\to\R$ | $\R$ | funzioni, sommate punto per punto |
Nella Lezione 2 hai definito la somma di due matrici e il prodotto di una matrice per uno scalare, entrata per entrata. Rispetto a quelle operazioni, l'insieme $$\M_{\K}(m,n):=\{A\ :\ A\ \text{è una matrice}\ m\times n\ \text{a elementi in}\ \K\}$$ soddisfa tutti e otto gli assiomi — il «vettore nullo» è la matrice nulla $O$, l'opposto è $-A$. Una matrice è un vettore. È il primo esempio in cui la parola «vettore» non ha più niente a che fare con le frecce, ed è esattamente il punto dell'astrazione.
Un non-esempio: quando la chiusura fallisce
L'insieme delle matrici $2\times2$ invertibili non è uno spazio vettoriale: non è chiuso rispetto alla somma. Infatti $I_2$ e $-I_2$ sono entrambe invertibili, ma $$I_2+(-I_2)=O$$ che invertibile non è. Manca perfino il vettore nullo, visto che $O$ non appartiene all'insieme.
Morale: prima di applicare gli assiomi, verifica sempre che le operazioni non ti facciano uscire dall'insieme.
Conseguenze degli assiomi da conoscere
In ogni spazio vettoriale $V$:
(a) il vettore nullo è unico;
(b) l'opposto di ogni vettore è unico;
(c) $0\cdot\vv=\vzero$ per ogni $\vv\in V$;
(d) $(-1)\vv=-\vv$;
(e) $\lambda\vzero=\vzero$ per ogni $\lambda\in\K$.
Dimostrazioni (sono brevi e si chiedono volentieri)
(a) Unicità dello zero. Se $\vzero$ e $\vzero'$ sono entrambi neutri, allora $$\vzero=\vzero+\vzero'=\vzero',$$ usando la neutralità di $\vzero'$ nella prima uguaglianza e quella di $\vzero$ nella seconda (con la commutatività).
(c) $0\cdot\vv=\vzero$. Per l'assioma (vi): $$0\vv=(0+0)\vv=0\vv+0\vv.$$ Sommando a entrambi i membri l'opposto di $0\vv$ si ottiene $\vzero=0\vv$.
(d) $(-1)\vv=-\vv$. Basta verificare che $(-1)\vv$ si comporta da opposto: $$\vv+(-1)\vv \overset{\text{(viii)}}{=} 1\vv+(-1)\vv \overset{\text{(vi)}}{=} (1+(-1))\vv=0\vv \overset{\text{(c)}}{=}\vzero.$$ Per l'unicità dell'opposto, $(-1)\vv=-\vv$. $\blacksquare$
4 · Applicazioni: terminologia generale
Un'applicazione $f:X\to Y$ associa a ogni $x\in X$ esattamente un $y=f(x)\in Y$. Si dicono $X$ dominio, $Y$ codominio, e $f(X)=\{f(x):x\in X\}$ immagine.
Data $B\subseteq Y$, la controimmagine di $B$ è $$f^{-1}(B):=\{x\in X\ :\ f(x)\in B\}.$$
Ogni $x\in X$ ha, per definizione, esattamente una immagine. Ma il numero di controimmagini di un $y\in Y$ può variare: zero, una, molte. Le tre proprietà seguenti sono esattamente tre risposte a «quante controimmagini ha ogni $y$?».
| $f$ è… | se ogni $y\in Y$ ha… | condizione equivalente |
|---|---|---|
| iniettiva | al massimo una controimmagine | $x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$ |
| suriettiva | almeno una controimmagine | $f(X)=Y$ |
| biunivoca | esattamente una controimmagine | iniettiva e suriettiva |
Sia $f:\R\to\R$, $f(x):=x^{2}$. Allora:
- $f^{-1}([-2,4))=(-2,2)$;
- $f^{-1}([1,4])=[-2,-1]\cup[1,2]$;
- $f^{-1}((-1,0))=\emptyset$;
- l'unica controimmagine di $y=0$ è $x=0$; se $y<0$, nessuna controimmagine.
$f^{-1}(B)$ con $B$ insieme è la controimmagine, ed è definita sempre, anche se $f$ non è invertibile. $f^{-1}(y)$ come valore ha senso solo se $f$ è biunivoca. Nell'esempio sopra $f$ non è iniettiva, eppure $f^{-1}([1,4])$ è perfettamente definito.
Confronto utile: $g(x)=e^{x}$ è iniettiva, $f(x)=x^{2}$ no — e lo si vede subito perché $f(-1)=f(1)$.
Questa terminologia è la stessa della Sezione 2 di Analisi, dove trovi anche il test della retta orizzontale per l'iniettività e la galleria interattiva delle funzioni elementari. Cambia solo l'accento: qui il conteggio delle controimmagini, lì il comportamento del grafico. Non studiarla due volte.
5 · Sottospazi, combinazioni lineari, span
Quasi tutti gli spazi vettoriali che incontrerai d'ora in poi stanno dentro uno spazio più grande: un piano per l'origine dentro $\R^{3}$, le soluzioni di un sistema omogeneo dentro $\K^{n}$, i polinomi dentro le funzioni. Invece di ricontrollare ogni volta gli otto assiomi, basta un test di due condizioni.
Sottospazi: definizione ed esempi risultato centrale
Sia $V$ uno spazio vettoriale su $\K$. Un sottoinsieme $W\subseteq V$, $W\ne\emptyset$, si dice sottospazio (vettoriale) di $V$ se
- $\vu+\vv\in W$ per ogni $\vu,\vv\in W$ (chiuso rispetto alla somma);
- $\lambda\vu\in W$ per ogni $\vu\in W$ e ogni $\lambda\in\K$ (chiuso rispetto al prodotto per scalare).
Perché bastano due condizioni e non otto assiomi
Le operazioni di $W$ sono quelle di $V$. Gli assiomi che sono identità — (i), (ii), (v), (vi), (vii), (viii) — valgono per tutti i vettori di $V$, quindi in particolare per quelli di $W$. Restano i due che chiedono che qualcosa esista:
- (iii) Preso un qualunque $\vu\in W$ (esiste, perché $W\ne\emptyset$), per la condizione 2 con $\lambda=0$ si ha $0\cdot\vu=\vzero\in W$. Qui serve la conseguenza (c) degli assiomi.
- (iv) Per la condizione 2 con $\lambda=-1$, $(-1)\vu=-\vu\in W$: è la conseguenza (d).
Lo si è appena visto: basta $\lambda=0$ nella condizione 2. Ne viene il test più rapido per escludere un candidato: se $\vzero\notin W$, allora $W$ non è un sottospazio. Attenzione, il viceversa è falso: un insieme può contenere $\vzero$ e non essere chiuso.
| $W$ | dentro | sottospazio? | perché |
|---|---|---|---|
| $\{(x,y,0):x,y\in\R\}$ | $\R^{3}$ | ✓ | somme e multipli hanno ancora terza componente $0$ |
| sfera unitaria $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ | $\R^{3}$ | ✗ | se $\vu\in W$ allora $2\vu$ ha norma $2$, quindi $2\vu\notin W$ |
| $\{\vzero\}$ | $V$ | ✓ | il sottospazio banale: $\vzero+\vzero=\vzero$, $\lambda\vzero=\vzero$ |
| funzioni derivabili | funzioni $\R\to\R$ | ✓ | somma e multipli di derivabili sono derivabili (Analisi) |
| piano $ax+by+cz=d$ | $\R^{3}$ | ✓ $\iff d=0$ | se $d\ne0$ il piano non passa per l'origine; se $d=0$ è chiuso |
Il piano: i conti per $d=0$ e per $d\ne0$
Sia $W=\{(x,y,z):ax+by+cz=d\}$ con $(a,b,c)\ne(0,0,0)$.
Se $d\ne0$: $(0,0,0)$ dà $0=d$, falso. Dunque $\vzero\notin W$ e $W$ non è un sottospazio.
Se $d=0$: presi $(x_1,y_1,z_1)$ e $(x_2,y_2,z_2)$ in $W$, $$a(x_1+x_2)+b(y_1+y_2)+c(z_1+z_2)=(ax_1+by_1+cz_1)+(ax_2+by_2+cz_2)=0+0=0,$$ $$a(\lambda x_1)+b(\lambda y_1)+c(\lambda z_1)=\lambda\cdot0=0.$$ Morale geometrica: i sottospazi di $\R^{3}$ diversi da $\{\vzero\}$ e da $\R^{3}$ sono le rette e i piani per l'origine.
Combinazioni lineari
Dati $\vv_1,\dots,\vv_n\in V$, si dice che $\vw\in V$ è combinazione lineare di $\vv_1,\dots,\vv_n$ se esistono scalari $\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\K$ tali che $$\vw=\sum_{j=1}^{n}\alpha_j\vv_j=\alpha_1\vv_1+\dots+\alpha_n\vv_n.$$
1. Con $\vv_1=(1,0,1)$ e $\vv_2=(0,1,1)$: $$(1,2,3)=\vv_1+2\vv_2=(1,0,1)+(0,2,2).$$ Per trovare i coefficienti si risolve il sistema $\alpha_1\vv_1+\alpha_2\vv_2=(1,2,3)$, cioè $\alpha_1=1$, $\alpha_2=2$, $\alpha_1+\alpha_2=3$: compatibile.
2. Nello spazio delle funzioni $\R\to\R$, $x^{3}$ non è combinazione lineare di $x^{2}$, $x^{4}$, $\cos x$. Le tre funzioni sono pari, e una combinazione di funzioni pari è pari. Se fosse $x^{3}=g(x)$ con $g$ pari, allora $-x^{3}=(-x)^{3}=g(-x)=g(x)=x^{3}$ per ogni $x$, cioè $x^{3}=0$ per ogni $x$: falso già per $x=1$.
Lo span è un sottospazio risultato centrale
Lo span (o chiusura lineare) di $\vv_1,\dots,\vv_n$ è l'insieme di tutte le loro combinazioni lineari: $$\operatorname{span}\{\vv_1,\dots,\vv_n\}:=\Big\{\sum_{j=1}^{n}\alpha_j\vv_j\ :\ \alpha_1,\dots,\alpha_n\in\K\Big\}.$$
Per ogni scelta di $\vv_1,\dots,\vv_n\in V$, l'insieme $\operatorname{span}\{\vv_1,\dots,\vv_n\}$ è un sottospazio di $V$.
Dimostrazione a passi coperti
Le soluzioni di $A\vx=\vzero$ sono un sottospazio da conoscere
Sia $A\in\M_{\K}(m,n)$ con $r=\rg A$. Per la struttura delle soluzioni e Rouché-Capelli, l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo $A\vx=\vzero$ è
- $\{\vzero\}$ se $r=n$;
- $\operatorname{span}\{\vv_1,\dots,\vv_{n-r}\}$ se $r\lt n$.
In entrambi i casi è un sottospazio di $\K^{n}$: il primo è quello banale, il secondo lo è per la Proposizione 1. Nella tabella dei tre casi l'omogeneo cade sempre nella seconda o nella terza riga, mai nella prima.
Se $\vb\ne\vzero$, il vettore nullo non risolve $A\vx=\vb$, perché $A\vzero=\vzero\ne\vb$. Manca $\vzero$, quindi l'insieme delle soluzioni non è un sottospazio, anche quando è infinito. Geometricamente è un sottospazio traslato di una soluzione particolare $\vx_0$: una retta o un piano che non passa per l'origine.
Fissato un vettore $\vv$, la traslazione $\tau_{\vv}(\vx)=\vx+\vv$ è iniettiva? È suriettiva? Risposta: è biunivoca, con inversa $\tau_{-\vv}$, perché $\tau_{-\vv}(\tau_{\vv}(\vx))=\vx$ e $\tau_{\vv}(\tau_{-\vv}(\vx))=\vx$. Lo svolgimento completo è l'esercizio G3.5. Nota che $\tau_{\vv}$ con $\vv\ne\vzero$ non manda $\vzero$ in $\vzero$: non sarà un'applicazione lineare.
Mettiti alla prova
Errori tipici della Sezione 3
- Dimenticare la chiusura. Prima di verificare gli otto assiomi, controlla che $\vu+\vv$ e $\lambda\vv$ restino dentro l'insieme: è lì che quasi tutti i non-esempi falliscono.
- Credere che «vettore» significhi «freccia». Dopo la definizione astratta, matrici, polinomi e funzioni sono vettori a tutti gli effetti.
- Definire la somma di vettori liberi senza dire che non dipende da $A$. Senza quel «fatto» la definizione è mal posta.
- Dare per scontato $0\cdot\vv=\vzero$. Non è un assioma: si dimostra, e la dimostrazione si chiede.
- Trattare $f^{-1}(B)$ come se richiedesse $f$ invertibile.
- Confondere «al massimo una» con «almeno una» controimmagine, cioè iniettiva con suriettiva.
- Applicare «$AB$ invertibile ⟹ $A$, $B$ invertibili» a matrici non quadrate.
- Dimenticare $W\ne\emptyset$, o non controllare $\vzero\in W$. È il test più rapido: un piano che non passa per l'origine non è un sottospazio.
- Credere che $\vzero\in W$ basti. È necessario, non sufficiente: servono le due chiusure.
- Dire che le soluzioni di $A\vx=\vb$ formano un sottospazio quando $\vb\ne\vzero$. Non contengono $\vzero$: sono un sottospazio traslato.
- Verificare la chiusura su un esempio numerico e non in generale. Due vettori particolari non dimostrano nulla: servono $\vu,\vv$ generici di $W$.