Preliminari e linguaggio
Il vocabolario che il corso dà per acquisito dalla prima lezione. Si legge in venti minuti, ma saltarlo significa inciampare su notazioni che compaiono ovunque.
Checklist
1 · Notazione per gli insiemi
- per elencazione: $\{1,4,7\}$, anche infinita: $\{1,3,5,7,\dots\}$;
- per proprietà: $A:=\{x\ :\ x^{2}<4\}$, cioè $A=(-2,2)$.
Il simbolo $:=$ significa «uguale per definizione»: sto battezzando un oggetto. Il simbolo $=$ esprime invece un fatto, che di norma va dimostrato.
Esempio del prof. Poniamo $a:=\sqrt{3+2\sqrt2}$ — questa è una definizione. Poi, poiché $$a^{2}=3+2\sqrt2=1+2\sqrt2+(\sqrt2)^{2}=(1+\sqrt2)^{2}$$ e $a\ge0$, si conclude che $a=1+\sqrt2$: quest'ultima uguaglianza esprime un fatto appena dimostrato.
$x\in A$: $x$ è un elemento di $A$. $B\subseteq A$: $B$ è un sottoinsieme di $A$, cioè ogni elemento di $B$ sta anche in $A$.
Sono relazioni fra oggetti di natura diversa: a sinistra di $\in$ c'è un elemento, a sinistra di $\subseteq$ un insieme. Scrivere $\{1\}\in\{1,2\}$ è un errore: la scrittura corretta è $\{1\}\subseteq\{1,2\}$, oppure $1\in\{1,2\}$.
Gli insiemi numerici, nella notazione del corso
$$\N:=\{1,2,3,\dots\},\qquad \N_0:=\{0,1,2,3,\dots\}$$ È una convenzione diversa da quella di Analisi 1, dove $\N=\{0,1,2,\dots\}$. Due corsi, due convenzioni: quando leggi «$\forall n\in\N$» controlla in quale corso sei.
Per il resto: $\Z:=\{0,\pm1,\pm2,\dots\}$, $\Q:=\{p/q\ :\ p\in\Z,\ q\in\N\}$, $\R$ i reali, $\C:=\{z=x+iy\ :\ x,y\in\R\}$, con la catena $$\N\subset\N_0\subset\Z\subset\Q\subset\R\subset\C.$$ L'ultima inclusione vale perché ogni $x\in\R$ si identifica con $x+i0\in\C$.
2 · Lo spazio $\R^n$
Per $n\in\N$, $$\R^{n}:=\bigl\{(x_1,x_2,\dots,x_n)\ :\ x_1,\dots,x_n\in\R\bigr\},$$ l'insieme delle successioni finite di $n$ numeri reali.
Interpretazione geometrica. A ogni vettore del piano corrisponde uno e un solo elemento $(x,y)\in\R^{2}$, e la corrispondenza è biunivoca: $\R^{2}$ è l'insieme dei vettori del piano. Analogamente $\R^{3}$ per lo spazio. Per $n\ge4$ l'interpretazione geometrica si perde, ma l'algebra resta identica — ed è questo il punto di passare a $\R^n$.
Operazioni
Per $\vx=(x_1,\dots,x_n)$, $\vy=(y_1,\dots,y_n)\in\R^{n}$ e $\lambda\in\R$: $$\vx\pm\vy:=(x_1\pm y_1,\ \dots,\ x_n\pm y_n),\qquad \lambda\vx:=(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n).$$ Si opera componente per componente.
Per distinguere i vettori dai numeri si usa il grassetto: $\vx\in\R^n$ contro $x\in\R$. A mano, il prof li sottolinea: $\underline{x}$.
Prodotto scalare standard
$$\vx\cdot\vy:=\sum_{k=1}^{n}x_k y_k=x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n\ \in\R.$$
Il prodotto righe per colonne fra matrici è, entrata per entrata, esattamente questo prodotto scalare: $[AB]_{ij}$ è la riga $i$ di $A$ «scalare» la colonna $j$ di $B$. Se questa definizione ti è chiara, il prodotto di matrici non ti sembrerà arbitrario.
Il prof precisa che questo è il prodotto scalare standard di $\R^n$: più avanti si vedrà che è un caso particolare del concetto generale di prodotto scalare su uno spazio vettoriale.
Lo spazio $\C^n$
Per analogia, $\C^{n}:=\{(z_1,\dots,z_n)\ :\ z_k\in\C\}$, con somma e prodotto per uno scalare $\lambda\in\C$ definiti componente per componente.
In $\C^{n}$ non si definisce il prodotto scalare in questo corso. Il motivo è che la formula $\sum_k z_kw_k$ non darebbe una «lunghezza» sensata: con $z=(1,i)$ si otterrebbe $z\cdot z=1+i^{2}=0$ pur essendo $z\ne\vzero$. Servirebbe il prodotto hermitiano $\sum_k z_k\overline{w_k}$, che esula dal programma.
3 · Quantificatori
| Simbolo | Si legge | Esempio |
|---|---|---|
| $\forall$ | per ogni | $\forall x\in\R\quad x^{2}\ge0$ |
| $\exists$ | esiste almeno un | $\exists z\in\C\quad z^{2}=-1$ |
| $\exists!$ | esiste un unico | $\exists!\,x>0\quad x^{2}=4$ |
$\forall x\ \exists y\ (y>x)$ è vera in $\R$ (per ogni $x$ basta prendere $y=x+1$).
$\exists y\ \forall x\ (y>x)$ è falsa (non c'è un reale maggiore di tutti).
Stessi simboli, ordine diverso, verità opposta. È lo stesso fenomeno che in Analisi rende delicata la definizione di limite: $\forall\eps\ \exists N$, non il contrario.
4 · La convenzione $\K$
Quando un argomento vale sia per il campo $\R$ sia per il campo $\C$, il campo si indica con $\K$. Scrivere «sia $A\in\K^{m\times n}$» significa: l'enunciato che segue è vero per matrici reali e per matrici complesse, con la stessa dimostrazione.
Non è pigrizia notazionale: è una scelta di sostanza. Il MEG, il rango, Rouché-Capelli e le condizioni di invertibilità usano solo somma, prodotto e divisione per elementi non nulli — operazioni disponibili in qualunque campo. Enunciarli su $\K$ rende esplicito che la struttura di campo è tutto ciò che serve.