Numeri complessi
Il campo $\C$ visto dal lato dell'algebra lineare: serve a risolvere sistemi su $\C$ e, più avanti, a garantire che ogni matrice quadrata abbia autovalori.
Forma algebrica, coniugato, modulo, piano di Gauss, forma trigonometrica ed esponenziale, formule di de Moivre e radici $n$-esime sono trattati là in modo completo, con dimostrazioni a passi coperti e widget interattivi (piano di Argand trascinabile, spirale delle potenze, poligono delle radici).
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Qui trovi solo il raccordo: che cosa cambia quando i complessi entrano in un corso di geometria.
Checklist
1 · Richiami essenziali
$\C:=\{z=x+iy\ :\ x,y\in\R\}$ con $i^{2}=-1$. Per $z=x+iy$: $$\Real z=x,\quad \Imag z=y,\quad \bar z=x-iy,\quad |z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\quad z\bar z=|z|^{2}.$$ Divisione: $\dfrac{z}{w}=\dfrac{z\bar w}{|w|^{2}}$. Forma trigonometrica: $z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)=\rho e^{i\theta}$.
In $\C$ si può sempre dividere per elementi non nulli — ed è tutto ciò che serve al MEG. Non esiste però un ordinamento compatibile con le operazioni: scritture come $z>0$ o $z_1\lt z_2$ non hanno senso, a meno che i numeri non siano reali. Si confronta solo il modulo, che è reale.
2 · Sistemi lineari su $\C$
Non cambia niente. Il metodo di eliminazione di Gauss usa solo somma, prodotto e divisione per elementi non nulli: tutte operazioni disponibili in $\C$ esattamente come in $\R$. Perciò valgono identici, con le stesse dimostrazioni:
- le operazioni elementari non cambiano le soluzioni;
- il MEG termina e produce una matrice a scala;
- il criterio dello 0-pivot;
- rango, Rouché-Capelli, struttura delle soluzioni;
- le condizioni di invertibilità e il teorema di Cramer.
È esattamente il motivo per cui il corso enuncia tutto su $\K$: scrivere due volte le stesse dimostrazioni, una per $\R$ e una per $\C$, sarebbe uno spreco.
$$\begin{cases}(1+i)z+w=2\\ z+(1-i)w=0\end{cases}$$
Si scambiano le righe per avere il pivot $1$, poi $R_2\to R_2-(1+i)R_1$. Usando $(1+i)(1-i)=1-i^{2}=2$ si arriva a $$\left[\begin{array}{cc|c}1&1-i&0\\0&-1&2\end{array}\right]$$ da cui $w=-2$ e $z=2-2i$. Svolgimento completo nell'esercizio G4.1.
- Una matrice «piena» può essere singolare. $\begin{bmatrix}i&1\\-1&i\end{bmatrix}$ ha tutte le entrate non nulle ma $\det=i^{2}+1=0$: la seconda riga è $i$ volte la prima.
- Attenzione ai segni con $i^{2}=-1$. Nel MEG su $\C$ la maggior parte degli errori non è concettuale: è aritmetica. Conviene tenere a mente $(1+i)(1-i)=2$ e $(1+i)^{2}=2i$.
3 · Teorema fondamentale dell'algebra
Ogni polinomio di grado $n\ge1$ a coefficienti in $\C$ ha almeno una radice in $\C$. Iterando, $$P(z)=a_n(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n),$$ con le radici contate secondo molteplicità. Si dice che $\C$ è algebricamente chiuso.
Il corollario sui coefficienti reali
Se i coefficienti sono reali, le radici non reali compaiono a coppie coniugate: da $P(z_0)=0$ segue $P(\bar z_0)=0$. Di conseguenza un polinomio reale di grado dispari ha sempre almeno una radice reale, e uno di grado pari può non averne nessuna ($z^{2}+1$).
Perché serve in un corso di geometria
Perché il polinomio caratteristico di una matrice quadrata di ordine $n$ ha grado $n$, e su $\C$ ha sempre $n$ radici. Quindi:
- su $\C$ ogni matrice quadrata ha autovalori;
- su $\R$ può non averne: una rotazione del piano di angolo $\theta\notin\{0,\pi\}$ non manda nessuna direzione in sé stessa, e infatti il suo polinomio caratteristico non ha radici reali.