Numeri reali e complessi
Il corso comincia costruendo il terreno su cui poggerà tutto il resto: un insieme numerico senza buchi. La proprietà di completezza di $\R$ che vedi qui è, letteralmente, ciò che rende possibili i limiti, le derivate e gli integrali dei mesi successivi.
Disequazioni, sup e inf di insiemi e una ventina di esercizi sui numeri complessi (equazioni con $\bar z$, radici, trasformazioni del piano), con le soluzioni del tutor verificate: sono gli esercizi E1.15–E1.40 della palestra.
Tutta la sezione risponde a una domanda: perché $\Q$ non basta? La risposta breve è $\sqrt2$. La risposta lunga è la completezza, e da lì discende l'esistenza di radici, logaritmi, del numero $e$ e del limite di ogni successione monotòna. Nella seconda metà si allarga $\R$ a $\C$ per un motivo speculare: in $\R$ l'equazione $x^2=-1$ non ha soluzioni.
Checklist del programma
Spunta ogni voce quando sai enunciarla e spiegarla senza guardare. Le voci con dim. scritto richiedono la dimostrazione alla prova scritta.
1 · Gli insiemi numerici
$$\N=\{0,1,2,3,\dots\},\qquad \Z=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\},\qquad \Q=\left\{\frac mn:\ m\in\Z,\ n\in\Z\setminus\{0\}\right\}.$$
In $\Q$ due frazioni $\frac mn$ e $\frac{m'}{n'}$ rappresentano lo stesso numero se e solo se $mn'=m'n$. Le operazioni sono $\frac mn+\frac pq=\frac{mq+np}{nq}$ e $\frac mn\cdot\frac pq=\frac{mp}{nq}$; l'ordinamento (con $n,q>0$) è $\frac mn\le\frac pq\iff mq\le np$.
Valgono le inclusioni strette $\N\subset\Z\subset\Q$. Ogni ampliamento risponde a un'esigenza algebrica precisa: in $\N$ non si può sempre sottrarre, in $\Z$ non si può sempre dividere. La domanda naturale è: e in $\Q$, cosa manca?
Allineamenti decimali
Un allineamento decimale è una scrittura $\pm\,c_0,c_1c_2c_3\dots$ con $c_0\in\N$ e $c_i\in\{0,\dots,9\}$. Può essere finito, infinito periodico o infinito non periodico.
Eseguendo la divisione euclidea fra numeratore e denominatore si ottiene sempre un allineamento finito o periodico, e viceversa. Dunque
$$\Q\ \longleftrightarrow\ \{\text{allineamenti finiti o infiniti periodici}\}.$$Perché si escludono gli allineamenti di periodo 9? — e la dimostrazione che $0,\overline9=1$
Perché altrimenti la corrispondenza non sarebbe biunivoca: $0,\overline9$ e $1$ sarebbero due scritture dello stesso numero. Per convenzione si sceglie sempre la scrittura finita. Ecco la dimostrazione, passo per passo.
Passo 1 — scrivere l'allineamento come serie
Per definizione di allineamento decimale, ogni cifra pesa una potenza di $\frac1{10}$:
$$0,\overline9=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\dots=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{9}{10^{k}}.$$Il $9$ è una costante, quindi si raccoglie fuori dalla somma:
$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{9}{10^{k}}=9\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^{\!k}.$$Poniamo $q=\dfrac1{10}$. Resta da calcolare $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}q^{k}$.
Passo 2 — attenzione all'indice di partenza
La formula che conosci parte da $k=0$: $$\sum_{k=0}^{\infty}q^{k}=\frac{1}{1-q}\qquad (|q|<1).$$ Ma qui la somma parte da $\mathbf{k=1}$, perché la prima cifra decimale è $\frac9{10}$, non $9$. È tutta qui la differenza, ed è il motivo per cui compare $\frac{q}{1-q}$ e non $\frac{1}{1-q}$.
Ci sono due modi per sistemare l'indice, e danno ovviamente lo stesso risultato.
Modo A — togliere il termine $k=0$. È il «$-1$» che viene naturale pensare:
$$\sum_{k=1}^{\infty}q^{k}\;=\;\underbrace{\sum_{k=0}^{\infty}q^{k}}_{=\,\frac{1}{1-q}}\;-\;\underbrace{q^{0}}_{=\,1}\;=\;\frac{1}{1-q}-1.$$Ora si fa il denominatore comune, ed è qui che il $-1$ «sparisce» riassorbendosi:
$$\frac{1}{1-q}-1=\frac{1-(1-q)}{1-q}=\frac{1-1+q}{1-q}=\frac{q}{1-q}.$$Modo B — traslare l'indice. Si pone $j=k-1$, cosicché $k=j+1$ e $k=1$ diventa $j=0$:
$$\sum_{k=1}^{\infty}q^{k}=\sum_{j=0}^{\infty}q^{\,j+1}=\sum_{j=0}^{\infty}q\cdot q^{\,j}=q\underbrace{\sum_{j=0}^{\infty}q^{\,j}}_{=\,\frac{1}{1-q}}=\frac{q}{1-q}.$$Passo 3 — sostituire $q=\frac1{10}$
$$\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac1{10}\right)^{\!k}=\frac{q}{1-q}=\frac{\dfrac{1}{10}}{1-\dfrac{1}{10}}=\frac{\dfrac{1}{10}}{\dfrac{9}{10}}=\frac{1}{10}\cdot\frac{10}{9}=\frac19.$$Nota che $|q|=\frac1{10}<1$, quindi la serie geometrica converge davvero e la formula è applicabile.
Passo 4 — rimettere il 9 raccolto all'inizio
$$0,\overline9=9\cdot\frac19=1.$$$$\sum_{n=n_0}^{\infty}q^{n}=\frac{q^{\,n_0}}{1-q}\qquad(|q|<1),$$ cioè primo termine diviso $1-q$. Con $n_0=0$ il primo termine è $q^0=1$ e ritrovi $\frac1{1-q}$; con $n_0=1$ il primo termine è $q$ e ottieni $\frac{q}{1-q}$. Non serve ricordare due formule: serve guardare da dove parte la somma.
Verifica «dal basso», per convincersi che non c'è trucco
Le somme parziali sono $s_n=0,\underbrace{99\dots9}_{n}$, e
$$1-s_n=\frac{1}{10^{\,n}}\ \longrightarrow\ 0.$$La distanza fra $s_n$ e $1$ diventa più piccola di qualunque $\eps>0$ fissato: per la definizione di limite, $s_n\to1$. Non è che $0,\overline9$ «si avvicina» a $1$ — il simbolo $0,\overline9$ denota il limite delle somme parziali, e quel limite è $1$.
Applicare $\frac{1}{1-q}$ senza guardare l'indice iniziale: qui darebbe $9\cdot\frac{1}{1-\frac1{10}}=9\cdot\frac{10}{9}=10$, cioè dieci volte il valore giusto. Lo stesso errore ricompare identico negli esercizi sulle serie geometriche che non partono da $n=0$.
$$\R:=\{\text{tutti gli allineamenti decimali}\}.$$ Gli elementi di $\R\setminus\Q$ si dicono numeri irrazionali: sono esattamente gli allineamenti infiniti non periodici.
La corrispondenza fra $\R$ e i punti di una retta (fissati origine e unità di misura) è biunivoca: $\R$ è la retta reale, senza buchi. $\Q$ invece è pieno di buchi — e il prossimo risultato ne esibisce uno.
2 · Richiami di logica
Un teorema ha la forma «ipotesi $\Rightarrow$ tesi». Conoscere la struttura logica dell'enunciato è metà del lavoro, perché determina la tecnica di dimostrazione.
| Forma | Simboli | Relazione con $P\Rightarrow Q$ |
|---|---|---|
| Implicazione | $P\Rightarrow Q$ | — |
| Contronominale | $\lnot Q\Rightarrow\lnot P$ | equivalente ✓ |
| Inversa | $Q\Rightarrow P$ | in generale non equivalente ✗ |
| Negazione | $P\ \land\ \lnot Q$ | è ciò che si suppone per assurdo |
- Diretta: si parte dall'ipotesi e con passaggi leciti si arriva alla tesi.
- Indiretta per contrapposizione: si dimostra $\lnot Q\Rightarrow\lnot P$, che è equivalente. Utile quando la negazione della tesi è più maneggevole dell'ipotesi.
- Indiretta per assurdo: si suppongono vere sia $P$ sia $\lnot Q$ e si deriva una contraddizione.
- Per induzione: quando la tesi dipende da $n\in\N$.
Sia $m\in\Z$. Allora $m$ è pari $\iff m^2$ è pari; equivalentemente $m$ è dispari $\iff m^2$ è dispari.
Dimostrazione — prova prima da solo, poi rivela
Il numero $\sqrt2$ è irrazionale dim. scritto · n° 1
Non esiste alcun $q\in\Q$ tale che $q^2=2$. In simboli, $\sqrt2\notin\Q$.
Dimostrazione a passi coperti — clicca su ogni riga per rivelarla
- Dimenticare di dire «coprimi»: senza quell'ipotesi non c'è nessun assurdo.
- Usare «$m^2$ pari $\Rightarrow m$ pari» come se fosse ovvio: è il lemma, va enunciato (e all'orale dimostrato).
- Confondere questo teorema con «$\sqrt2$ non esiste»: $\sqrt2$ esiste eccome, in $\R$. Semplicemente non sta in $\Q$.
3 · Il principio di induzione
Sia $P(n)$ una proposizione dipendente da $n\in\N$. Se
- (base) $P(0)$ è vera, e
- (passo induttivo) per ogni $n$: $P(n)$ vera $\Rightarrow$ $P(n+1)$ vera,
allora $P(n)$ è vera per ogni $n\in\N$. Se la base si verifica in $n_0$ invece che in $0$, si conclude che $P(n)$ è vera per ogni $n\ge n_0$.
$$\sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\qquad\forall n\in\N.$$
Dimostrazione
Base. $n=0$: primo membro $0$, secondo membro $\frac{0\cdot1}{2}=0$. ✓
Passo. Supposto $\sum_{k=0}^n k=\frac{n(n+1)}2$ (ipotesi induttiva), $$\sum_{k=0}^{n+1}k=\underbrace{\frac{n(n+1)}{2}}_{\text{ip. induttiva}}+(n+1)=(n+1)\left(\frac n2+1\right)=\frac{(n+1)(n+2)}{2},$$ che è $P(n+1)$. $\blacksquare$
All'esame, indica esplicitamente il punto in cui usi l'ipotesi induttiva: è quello che il correttore cerca.
Disuguaglianza di Bernoulli dim. scritto · n° 2
Sia $h\in\R$ con $h>-1$. Allora $$(1+h)^n\ \ge\ 1+nh\qquad\forall n\in\N.$$
Non per evitare una divisione per zero: nella formula non si divide mai, e con $h=-1$ la disuguaglianza sarebbe vera lo stesso ($0^n=0\ge1-n$ per $n\ge1$). Il corso la enuncia con $h>-1$ perché così $1+h>0$ e nel passo induttivo si moltiplica per un numero positivo, senza casi particolari. All'esame scrivi l'enunciato del corso.
Dimostrazione a passi coperti
Somma di una progressione geometrica dim. orale
Per $q\ne1$: $$\sum_{k=0}^{n}q^{k}=1+q+\dots+q^{n}=\frac{1-q^{\,n+1}}{1-q}.$$ Se $q=1$ la somma vale $n+1$.
Le due dimostrazioni
Per induzione. Base $n=0$: $q^0=1=\frac{1-q}{1-q}$. Passo: $$\sum_{k=0}^{n+1}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1}=\frac{1-q^{n+1}+q^{n+1}-q^{n+2}}{1-q}=\frac{1-q^{n+2}}{1-q}.\ \blacksquare$$
Trucco telescopico (più veloce). Posto $S_n=\sum_{k=0}^n q^k$, $$(1-q)S_n=\sum_{k=0}^{n}q^{k}-\sum_{k=0}^{n}q^{k+1}=q^0-q^{n+1}=1-q^{n+1},$$ da cui la tesi dividendo per $1-q\ne0$.
4 · Massimo, minimo, estremo superiore e inferiore
Sia $E\subseteq\R$ non vuoto.
- $M\in\R$ è maggiorante di $E$ se $x\le M$ per ogni $x\in E$; $m$ è minorante se $x\ge m$ per ogni $x\in E$.
- $M$ è massimo di $E$ se è maggiorante e $M\in E$. Analogamente il minimo.
- $E$ è limitato superiormente se ammette almeno un maggiorante; limitato se lo è da entrambe le parti.
- L'estremo superiore $\sup E$ è il minimo dei maggioranti; l'estremo inferiore $\inf E$ è il massimo dei minoranti.
$L=\sup E$ se e solo se valgono simultaneamente $$\text{(1)}\quad x\le L\ \ \forall x\in E;\qquad\qquad \text{(2)}\quad \forall\eps>0\ \ \exists x_\eps\in E:\ x_\eps>L-\eps.$$ Simmetricamente per $\ell=\inf E$: (1) $x\ge\ell\ \forall x\in E$; (2) $\forall\eps>0\ \exists x_\eps\in E: x_\eps<\ell+\eps$.
La (1) dice solo che $L$ è un maggiorante; è la (2) a dire che è il più piccolo. Ed è la (2) che userai nella dimostrazione della regolarità delle successioni monotòne: fornisce un elemento $a_N$ vicino al sup, e la monotonia fa il resto. Imparala nella forma «$L-\eps$ non è un maggiorante».
La proprietà di completezza
Ogni sottoinsieme di $\R$ non vuoto e limitato superiormente ammette estremo superiore in $\R$. Simmetricamente per l'estremo inferiore.
Sia $A=\{x\in\Q\ :\ x>0,\ x^2<2\}$. $A$ è non vuoto ($1\in A$) e limitato superiormente in $\Q$ (per esempio da $2$), ma non ha estremo superiore in $\Q$: il candidato sarebbe $\sqrt2$, che non è razionale. È questa la differenza strutturale fra $\Q$ e $\R$, e l'unica ragione per cui si introduce $\R$.
Da qui in avanti, ogni volta che un teorema garantisce l'esistenza di qualcosa senza costruirlo — una radice, un logaritmo, il numero $e$, il limite di una successione monotòna — dietro c'è la completezza.
5 · Radici, potenze, logaritmi
Siano $y\ge0$ e $n\in\N$, $n\ge1$. Allora esiste un unico $x\ge0$ tale che $x^n=y$. Si scrive $x=\sqrt[n]y=y^{1/n}$. Se $n$ è dispari, la radice è definita anche per $y<0$.
Da qui si definiscono le potenze a esponente razionale, $a^{m/n}:=\sqrt[n]{a^m}$ per $a>0$, e poi quelle a esponente reale come estremo superiore:
$$a^{x}:=\sup\{a^{q}\ :\ q\in\Q,\ q\le x\}\qquad (a>1).$$Siano $a>0$, $a\ne1$, e $y>0$. Allora esiste unico $x\in\R$ con $a^{x}=y$; si pone $x=\log_a y$. La base usuale è $a=e$, il numero di Nepero, e si scrive $\ln y$.
Tutte e tre le definizioni — radici, potenze reali, logaritmi — sono estremi superiori di opportuni insiemi. In $\Q$ quegli estremi non esisterebbero. È sempre la completezza. Se in sede d'esame ti chiedono «quale proprietà di $\R$ è fondamentale per definirli?», la risposta è una sola.
Perché sono tutti estremi superiori
Questo è il punto concettuale più importante della sezione, e di solito viene detto troppo in fretta. Il problema di fondo è sempre lo stesso:
Non sai costruire l'oggetto direttamente. Sai solo approssimarlo per difetto, quanto vuoi bene, con oggetti che già possiedi. Serve qualcosa che trasformi «approssimabile» in «esistente».
Quel qualcosa è la completezza.
Lo schema, in tre mosse — sempre le stesse
- Raccogli le approssimazioni per difetto in un insieme $E$, usando solo cose che sai già definire.
- Verifica le due ipotesi: $E\ne\emptyset$ ed $E$ è limitato superiormente. (Senza queste, la completezza non si applica.)
- La completezza ti regala $\sup E$, e tu definisci l'oggetto come quel numero. Resta poi da dimostrare che ha la proprietà voluta.
Caso guida: costruire $\sqrt2$
Vuoi un numero il cui quadrato faccia $2$. Non sai scriverlo, ma sai riconoscere chi gli sta sotto: i numeri il cui quadrato è minore di $2$. Poni
$$E=\{t\in\R\ :\ t\ge 0,\ t^{2}<2\}.$$- $E\ne\emptyset$: $1\in E$, perché $1^2=1<2$. ✓
- $E$ limitato superiormente: $2$ è un maggiorante. Infatti se fosse $t>2$ allora $t^2>4>2$, quindi $t\notin E$. ✓
Per la completezza esiste $x=\sup E\in\R$. Si definisce $\sqrt2:=x$, e si dimostra poi che $x^{2}=2$ escludendo le due alternative: se fosse $x^2<2$ si troverebbe un elemento di $E$ maggiore di $x$ (contro il fatto che $x$ è maggiorante); se fosse $x^2>2$ si troverebbe un maggiorante più piccolo di $x$ (contro il fatto che $x$ è il minimo dei maggioranti).
Prendi $A=\{q\in\Q: q>0,\ q^2<2\}$. È non vuoto, è limitato superiormente, ma non ha estremo superiore in $\Q$: il candidato sarebbe $\sqrt2$, che non è razionale. Le approssimazioni $1;\ 1{,}4;\ 1{,}41;\ 1{,}414;\dots$ si accalcano tutte contro un punto che in $\Q$ non c'è. È letteralmente un buco nella retta razionale — e l'unica ragione per cui si introduce $\R$.
Gli altri tre casi, in parallelo
Cambia solo cosa metti dentro $E$. La struttura è identica.
| Oggetto | Cosa sai già fare | L'insieme $E$ |
|---|---|---|
| $\sqrt[n]{y}$ ($y\ge0$) | elevare a potenza intera | $\{t\ge0\ :\ t^{n}\lt y\}$ |
| $a^{x}$ ($a>1$, $x\in\R$) | $a^{q}$ per $q$ razionale, via le radici: $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^{m}}$ | $\{a^{q}\ :\ q\in\Q,\ q\le x\}$ |
| $\log_a y$ ($a>1$, $y>0$) | $a^{q}$ per $q$ razionale | $\{q\in\Q\ :\ a^{q}\le y\}$ |
Nota la catena di dipendenze: le potenze a esponente reale si appoggiano su quelle razionali, che si appoggiano sulle radici, che si appoggiano sulla completezza. E i logaritmi si appoggiano sulle potenze. Tolta la completezza, crolla tutto in fila.
Esempio concreto: che cos'è $2^{\pi}$?
$\pi$ è irrazionale, quindi $2^{\pi}$ non si può definire come «$2$ moltiplicato per sé stesso $\pi$ volte», né come una radice. Ma sai calcolare
$$2^{3},\quad 2^{3{,}1}=2^{31/10}=\sqrt[10]{2^{31}},\quad 2^{3{,}14}=\sqrt[100]{2^{314}},\quad 2^{3{,}141},\ \dots$$— tutte potenze a esponente razionale, quindi radici, quindi già definite. Questi numeri crescono e restano limitati superiormente (per esempio da $2^{4}=16$). Allora si pone
$$2^{\pi}:=\sup\{2^{q}\ :\ q\in\Q,\ q\le\pi\}\approx 8{,}8249778\dots$$Con $0\lt a<1$ la funzione $q\mapsto a^q$ è decrescente, quindi si usa l'estremo inferiore (o si passa a $1/a$). È l'unico dettaglio che cambia.
«Quale proprietà di $\R$ è fondamentale per poter definire radici, potenze e logaritmi?»
La completezza. Tutti e tre sono definiti come estremo superiore di un insieme di approssimazioni per difetto; la completezza è ciò che garantisce che quell'estremo superiore esista in $\R$. In $\Q$ gli stessi insiemi non hanno estremo superiore, e infatti $\sqrt2$, $2^\pi$ e $\log_2 5$ non sono razionali.
La mossa «insieme limitato $\to$ completezza $\to$ esiste il sup $\to$ quello è l'oggetto cercato» tornerà, identica, nel teorema sulla regolarità delle successioni monotòne: lì l'insieme è $\{a_n:n\in\N\}$ e il sup è il limite. E da quel teorema discendono il numero $e$ e tutti i criteri di convergenza per le serie. Se capisci bene questo passaggio adesso, ne hai capiti quattro in anticipo.
Grandezze goniometriche
$$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,\qquad \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta.$$ Sono esattamente le identità che compariranno svolgendo il prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica. Impararle adesso significa non doverle ricostruire durante la dimostrazione.
6 · Valore assoluto e disuguaglianza triangolare
$$|x|:=\begin{cases}x & x\ge0\\ -x & x<0\end{cases}\qquad\text{equivalentemente}\qquad |x|=\max\{x,-x\}=\sqrt{x^2}.$$
Lettura geometrica — quella da tenere in testa: $|x|$ è la distanza di $x$ dall'origine, e $|x-y|$ è la distanza fra $x$ e $y$. Ogni definizione di limite del corso sarà scritta con questa lettura: $|a_n-L|<\eps$ significa «$a_n$ dista da $L$ meno di $\eps$».
$$|a+b|\le|a|+|b|\qquad\forall a,b\in\R,$$ e nella forma inversa $\bigl||a|-|b|\bigr|\le|a-b|$.
Dimostrazione
Per ogni $x$ vale $-|x|\le x\le|x|$. Scrivendola per $a$ e per $b$ e sommando membro a membro: $$-(|a|+|b|)\le a+b\le |a|+|b|.$$ Poiché per $c\ge0$ si ha $-c\le t\le c\iff|t|\le c$, con $t=a+b$ e $c=|a|+|b|$ si ottiene la tesi. $\blacksquare$
Forma inversa: $|a|=|(a-b)+b|\le|a-b|+|b|$ dà $|a|-|b|\le|a-b|$; scambiando $a$ e $b$ si ottiene anche $|b|-|a|\le|a-b|$, e insieme $\bigl||a|-|b|\bigr|\le|a-b|$.
7 · I numeri complessi
In $\R$ l'equazione $x^2=-1$ non ha soluzioni, perché ogni quadrato è $\ge0$. Si introduce allora l'unità immaginaria $i$, con la sola regola $i^2=-1$, e si pone
$$\C:=\{z=a+ib\ :\ a,b\in\R\}.$$$a=\Real z$ è la parte reale, $b=\Imag z$ la parte immaginaria — entrambe numeri reali. Due complessi sono uguali sse coincidono parte reale e parte immaginaria.
$$ (a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d),\qquad (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc).$$
Coniugato $\bar z=a-ib$; modulo $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$; vale $z\bar z=|z|^2$, da cui la divisione: $\dfrac zw=\dfrac{z\bar w}{|w|^2}$.
- Opposto di $z=a+ib$: $-z=-a-ib$, perché $z+(-z)=0$.
- Inverso di $z\ne0$: si moltiplica sopra e sotto per il coniugato, $$(a+ib)^{-1}=\frac{1}{a+ib}\cdot\frac{a-ib}{a-ib}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2}+i\,\frac{-b}{a^2+b^2}.$$
- Coniugato: $z\bar z=a^2+b^2=|z|^2$, $\dfrac1z=\dfrac{\bar z}{|z|^2}$, $\bar{\bar z}=z$, $z+\bar z=2\Real z$, $z-\bar z=2i\Imag z$.
- Modulo: $|z|\ge0$ e $|z|=0\iff z=0$; $|\Real z|\le|z|$, $|\Imag z|\le|z|$; $|z+w|\le|z|+|w|$ (disuguaglianza triangolare anche in $\C$).
Esempio della lezione: $\dfrac{1-2i}{1+i}=\dfrac{(1-2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{1-i-2i+2i^2}{2}=\dfrac{-1-3i}{2}=-\dfrac12-\dfrac32\,i.$
Non esiste su $\C$ un ordinamento compatibile con le operazioni: scritture come $z>0$ o $z_1\lt z_2$ sono prive di senso (a meno che i numeri siano reali). Si può confrontare solo il modulo, che è un numero reale.
Il piano di Argand-Gauss
Forma trigonometrica ed esponenziale
Per $z\ne0$, posti $\rho=|z|>0$ e $\theta=\arg z$ (tale che $\cos\theta=\frac a\rho$, $\sin\theta=\frac b\rho$): $$z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta).$$ L'argomento è determinato a meno di multipli di $2\pi$. Nel corso l'argomento principale si sceglie in $\left[-\frac\pi2,\frac32\pi\right)$.
Formula di Eulero: $e^{i\theta}:=\cos\theta+i\sin\theta$, da cui la forma esponenziale $z=\rho\,e^{i\theta}$.
Per $z=x+iy\ne0$ si ha $\dfrac yx=\dfrac{\rho\sin\theta}{\rho\cos\theta}=\tan\theta$. Ma $\arctan$ restituisce solo angoli in $\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$, l'intervallo in cui la tangente è invertibile, quindi: $$\theta=\begin{cases}\arctan\dfrac yx & x>0\\[8pt] \arctan\dfrac yx+\pi & x<0\\[8pt] \ \ \dfrac\pi2 & x=0,\ y>0\\[8pt] -\dfrac\pi2 & x=0,\ y<0\end{cases}$$
Così $\theta$ cade sempre in $\left[-\frac\pi2,\frac32\pi\right)$: primo e quarto quadrante da $\arctan$, secondo e terzo aggiungendo $\pi$. Molti libri usano invece $(-\pi,\pi]$: stesso numero complesso, argomento diverso di $2\pi$ nel terzo quadrante. All'esame usa la convenzione del corso.
$\theta=\arctan\frac yx$ vale solo nel primo e quarto quadrante ($x>0$). Per $x<0$ bisogna aggiungere $\pi$. Esempio: $z=-1+i\sqrt3$ ha $\arctan\frac{\sqrt3}{-1}=-\frac\pi3$, ma l'argomento corretto è $-\frac\pi3+\pi=\frac{2\pi}{3}$: il punto sta nel secondo quadrante. E $z=-1-i$ ha argomento $\frac\pi4+\pi=\frac54\pi$ (non $-\frac34\pi$, che è la stessa direzione ma fuori dall'intervallo del corso). Disegna sempre il punto prima di scrivere l'argomento.
Formule di de Moivre dim. scritto · n° 3
$$z_1z_2=\rho_1\rho_2\bigl[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\bigr],\qquad z^{\,n}=\rho^{\,n}\bigl[\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr].$$ In parole: il prodotto moltiplica i moduli e somma gli argomenti.
Lettura geometrica (Lezione 3): moltiplicare $z$ per $w=R(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ agisce come una dilatazione ($R>1$) o compressione ($R<1$) seguita da una rotazione di angolo $\varphi$. Per esempio moltiplicare per $i=\cos\frac\pi2+i\sin\frac\pi2$ ruota di $\frac\pi2$ senza cambiare il modulo: è l'opzione «mostra $iz$» del piano interattivo qui sopra.
Dimostrazione a passi coperti
Scrivere $z_1z_2=\rho_1e^{i\theta_1}\rho_2e^{i\theta_2}=\rho_1\rho_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ non è una dimostrazione: la formula di Eulero definisce $e^{i\theta}$ tramite seno e coseno, e la proprietà $e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}$ è proprio de Moivre. All'esame usa le formule di addizione.
Radici $n$-esime dim. scritto · n° 4
Sia $w=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)\ne0$ e $n\ge1$. L'equazione $z^n=w$ ha esattamente $n$ soluzioni distinte: $$z_k=\sqrt[n]{\rho}\left[\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\theta+2k\pi}{n}\right],\qquad k=0,1,\dots,n-1.$$
Dimostrazione a passi coperti
Queste $n$ sono distinte: gli argomenti $\frac\theta n+\frac{2h\pi}{n}$ con $h=0,\dots,n-1$ distano fra loro meno di $2\pi$, quindi non possono differire di un multiplo non nullo di $2\pi$. $\blacksquare$
Notazione degli appunti: $w=Re^{i\varphi}$, $z=re^{i\theta}$, $\theta_h=\frac\varphi m+\frac{2h\pi}{m}$ con $h=0,\dots,m-1$. A pagina 5 della Lezione 3 c'è scritto «$im\theta=i\varphi+2k\pi$»: la condizione giusta è $m\theta=\varphi+2k\pi$, cioè senza le $i$.
Teorema fondamentale dell'algebra
Ogni polinomio di grado $n\ge1$ a coefficienti complessi ha almeno una radice in $\C$. Iterando, ne ha esattamente $n$ contate con molteplicità: $$P(z)=a_n(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n).$$
Si dice che $\C$ è algebricamente chiuso: passando da $\R$ a $\C$ si risolve non solo $x^2=-1$, ma ogni equazione polinomiale. Una conseguenza utile negli esercizi: se il polinomio ha coefficienti reali, le radici non reali compaiono a coppie coniugate.
Mettiti alla prova
Domande nello stile della prima parte della prova. Le opzioni sono mescolate a ogni giro.
Errori tipici della Sezione 1
- Confondere massimo e estremo superiore. Il sup esiste sempre (per insiemi limitati superiormente), il massimo solo se è assunto. $\sup(0,2)=2$ ma il massimo non esiste.
- Scrivere $\min E$ quando serve $\inf E$. Nella prima parte della prova questa distinzione è chiesta quasi sempre.
- Nell'induzione, «dimostrare» $P(n)$ invece di supporla. $P(n)$ è l'ipotesi induttiva.
- Dimenticare la base dell'induzione, o verificarla nel punto sbagliato quando l'enunciato parte da $n_0>0$.
- In Bernoulli, non giustificare il verso della disuguaglianza quando si moltiplica per $(1+h)$.
- Calcolare l'argomento con $\arctan\frac ba$ senza guardare il quadrante.
- Scrivere $\sqrt[n]{w}$ in $\C$ come se fosse un solo numero. Sono $n$.
- Usare disuguaglianze fra numeri complessi. $\C$ non è ordinato.
- Dimostrare de Moivre con la forma esponenziale. È circolare.