Funzioni, successioni e limiti
Qui nasce l'Analisi vera e propria. La prima metà è linguaggio — indispensabile ma familiare. La seconda introduce il limite, la definizione che riassume l'intero corso: tutto ciò che verrà dopo (continuità, derivate, integrali, serie) è un limite travestito.
- Lezione 7: l'algebra dei limiti nelle tabelle del prof, le forme indeterminate con gli esempi e la dimostrazione della somma
- Lezione 8: infinitesima per limitata (dim. orale), il confronto per limiti infiniti, i limiti notevoli (a)–(h) con le dimostrazioni, rapporto tra polinomi e criterio del rapporto
- Esercitazioni 1–3: gli esercizi svolti dal tutor sono nella palestra, Sezione 1 e Sezione 2
- Lezione 7 (5 ottobre): i due corollari della permanenza del segno, cioè il segno del limite e la proprietà del confronto, con dimostrazioni a passi coperti
- Funzioni limitate e illimitate, con la tabella degli esempi della lezione
- Scheda delle funzioni elementari: domini, immagini, parte intera, segno, iperboliche, convenzione su $x^{p/q}$; la galleria ora ha 22 funzioni
- Successioni: monotonia, max/min/sup/inf con la caratterizzazione a $\eps$, esempi svolti
- Il limite con la notazione del prof ($\ell$, $\nu_\eps$) e le due verifiche fatte a lezione
- Unicità del limite riscritta come a lezione, con la disuguaglianza triangolare
- Esercizi nuovi E2.10–E2.13; nuove domande e flashcard nell'allenamento quotidiano
Fino a ora hai lavorato con oggetti statici: un numero, un insieme, una disuguaglianza. Il limite è il primo oggetto dinamico: non descrive dove la successione arriva, ma come si comporta definitivamente. Se la definizione «$\forall\eps>0\ \exists N:\ \forall n>N,\ |a_n-L|<\eps$» ti sembra un rompicapo di quantificatori, usa il visualizzatore più sotto: è una striscia e una soglia, nient'altro.
Checklist del programma
1 · Funzioni tra insiemi
Una funzione $f:A\to B$ associa a ogni $x\in A$ uno e un solo $f(x)\in B$.
- dominio $A$; codominio $B$;
- immagine $f(A)=\{f(x):x\in A\}\subseteq B$;
- grafico $G_f=\{(x,f(x)):x\in A\}$;
- controimmagine di $E\subseteq B$: $f^{-1}(E)=\{x\in A: f(x)\in E\}$.
$f^{-1}(E)$ è definita sempre, anche quando $f$ non è invertibile: è un insieme, non il valore di una funzione inversa. Per $f(x)=x^2$ si ha $f^{-1}(\{4\})=\{-2,2\}$ e $f^{-1}(\{-1\})=\emptyset$, benché $f$ non sia iniettiva. Quando in un quesito compare $f^{-1}$, controlla sempre se si parla di controimmagine o di funzione inversa.
Funzione composta
Date $f:A\to B$ e $g:C\to D$ con $f(A)\subseteq C$, si pone $(g\circ f)(x)=g(f(x))$: prima $f$, poi $g$. La composizione è associativa ma in generale non commutativa.
Il controesempio da citare all'esame
$f(x)=x^2$, $g(x)=x+1$: $$(g\circ f)(x)=x^2+1,\qquad (f\circ g)(x)=(x+1)^2=x^2+2x+1.$$ Coincidono solo per $x=0$. Spesso, inoltre, una sola delle due composizioni è definita.
Iniettiva, suriettiva, biunivoca
- iniettiva: $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$ — ogni retta orizzontale incontra il grafico al più una volta;
- suriettiva: $f(A)=B$ — ogni retta orizzontale a quota in $B$ incontra il grafico almeno una volta;
- biunivoca: entrambe. Allora esiste $f^{-1}:B\to A$ con $f^{-1}(y)=x\iff f(x)=y$.
Dagli appunti: se $f$ è solo iniettiva, è comunque invertibile sulla sua immagine, con $f^{-1}:f(A)\to A$; se è anche suriettiva è invertibile su tutto il codominio $B$. In entrambi i casi $$(f^{-1}\circ f)(x)=x\quad\forall x\in A,\qquad (f\circ f^{-1})(y)=y\quad\forall y\in f(A).$$
Ogni funzione iniettiva diventa biunivoca restringendo il codominio all'immagine. $e^x:\R\to\R$ non è suriettiva, ma $e^x:\R\to(0,+\infty)$ è biunivoca, con inversa $\ln$. Allo stesso modo $x^2$ non è iniettiva su $\R$, ma lo è su $[0,+\infty)$. I grafici di $f$ e $f^{-1}$ sono simmetrici rispetto alla bisettrice $y=x$.
2 · Proprietà delle funzioni reali
Monotonia e rapporto incrementale
$f$ è crescente se $x_1\lt x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)$; strettamente crescente se vale $<$. Analogamente decrescente. Monotòna = crescente oppure decrescente.
Posto, per $x_1\ne x_2$, $\ R(x_1,x_2)=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$, si ha $$f\ \text{crescente su }A\iff R(x_1,x_2)\ge0\ \ \forall x_1\ne x_2\in A,$$ e strettamente crescente $\iff R>0$.
Dimostrazione
($\Rightarrow$) Siano $x_1\ne x_2$; a meno di scambiarli, $x_1\lt x_2$, quindi $x_2-x_1>0$. Se $f$ è crescente allora $f(x_2)-f(x_1)\ge0$, e il quoziente di un numero $\ge0$ per uno $>0$ è $\ge0$.
($\Leftarrow$) Se $R(x_1,x_2)\ge0$ e $x_1\lt x_2$, da $f(x_2)-f(x_1)=R\cdot(x_2-x_1)$ con entrambi i fattori $\ge0$ segue $f(x_1)\le f(x_2)$. $\blacksquare$
Il guadagno: $R$ non dipende dall'ordine di $x_1,x_2$, quindi la monotonia diventa una condizione di segno. Nel calcolo differenziale questo segno diventerà quello di $f'$.
$f(x)=\frac1x$ su $\R\setminus\{0\}$ è decrescente su $(0,+\infty)$ e decrescente su $(-\infty,0)$, ma non è decrescente su $\R\setminus\{0\}$: con $x_1=-1\lt x_2=1$ si ha $f(x_1)=-1<1=f(x_2)$. E non è nemmeno crescente, perché con $x_1=1\lt x_2=2$ si ha $f(x_1)=1>\frac12=f(x_2)$. Quindi non è monotòna. La monotonia dipende dall'insieme su cui la guardi: «decrescente su ogni pezzo» non vuol dire «decrescente».
Funzioni pari, dispari, periodiche
| Tipo | Condizione | Simmetria del grafico | Esempi |
|---|---|---|---|
| Pari | $f(-x)=f(x)$ | rispetto all'asse $y$ | $x^2$, $\cos x$, $|x|$ |
| Dispari | $f(-x)=-f(x)$ | rispetto all'origine | $x^3$, $\sin x$, $\arctan x$ |
| Periodica | $f(x+T)=f(x)$ | traslazione di $T$ | $\sin x$ ($T=2\pi$), $\tan x$ ($T=\pi$) |
Il dominio deve essere simmetrico rispetto all'origine perché la parità abbia senso. Se $f$ è dispari ed è definita in $0$, allora $f(0)=0$. La maggior parte delle funzioni non è né pari né dispari.
Funzioni limitate; massimo, minimo, sup e inf di funzioni
$f:A\subseteq\R\to\R$ è limitata superiormente (inferiormente) se l'insieme immagine $f(A)\subseteq\R$ è limitato superiormente (inferiormente), cioè $$\exists M\in\R:\ f(x)\le M\ \ \forall x\in A\qquad\Bigl(\exists m\in\R:\ f(x)\ge m\ \ \forall x\in A\Bigr).$$ È limitata se è limitata sia superiormente sia inferiormente.
Negando: $f$ è illimitata superiormente se $\forall M\in\R\ \exists x\in A:\ f(x)>M$.
| Esempio della lezione | $f(A)$ | $\sup$ | $\inf$ | max / min |
|---|---|---|---|---|
| $\arctan x$ su $\R$ | $\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$ | $\frac\pi2$ | $-\frac\pi2$ | né max né min: limitata |
| $\frac1x$ su $(0,+\infty)$ | $(0,+\infty)$ | $+\infty$ | $0$ | né max né min: illimitata sup., limitata inf. |
| $\sin x$ su $\R$ | $[-1,1]$ | $1$ | $-1$ | $\max=1$, $\min=-1$ |
| $|x|$ su $\R$ | $[0,+\infty)$ | $+\infty$ | $0$ | $\min=0$, niente max |
Tutte le nozioni si ottengono applicando quelle insiemistiche all'immagine: $$\sup_A f:=\sup f(A),\qquad \inf_A f:=\inf f(A),\qquad \max_A f:=\max f(A)\ \text{(se esiste)}.$$ Se $f(x_0)=\max_A f$, il punto $x_0$ si dice punto di massimo assoluto.
Il massimo è un valore sull'asse $y$; il punto di massimo è un'ascissa. Per $f(x)=\sin x$ su $\R$: il massimo è $1$, i punti di massimo sono infiniti, $x=\frac\pi2+2k\pi$. Per $f(x)=\arctan x$: $\sup=\frac\pi2$ e $\inf=-\frac\pi2$, ma né massimo né minimo esistono.
Galleria delle funzioni elementari
Scheda delle funzioni elementari (Lezione 5)
Stesso ordine degli appunti. Tutte le funzioni del menu qui sopra sono disegnabili.
| Funzione | Insieme di definizione | Immagine | Proprietà da sapere |
|---|---|---|---|
| (a) $ax+b$ (lineare/affine) | $\R$ | $\R$ se $a\ne0$ | grafico: una retta |
| (b) $x^n$, $n\in\N$ | $\R$ | $n$ pari: $[0,+\infty)$; $n$ dispari: $\R$ | $n$ pari: pari, non iniettiva; $n$ dispari: dispari, strettamente crescente |
| $x^{p/q}$, $p,q$ coprimi | $q$ pari: $[0,+\infty)$ $q$ dispari: $\R$ | dipende da $p$ | es. $x^{1/2}=\sqrt x$ su $[0,+\infty)$, $x^{1/3}=\sqrt[3]x$ su tutto $\R$ |
| $x^{-p/q}=\dfrac1{x^{p/q}}$ | $q$ pari: $(0,+\infty)$ $q$ dispari: $\R\setminus\{0\}$ | — | es. $x^{-1/2}=\frac1{\sqrt x}$ su $(0,+\infty)$; $\frac1x$ su $\R\setminus\{0\}$ |
| (c) $\sin x$, $\cos x$ | $\R$ | $[-1,1]$ | periodo $2\pi$; $\sin$ dispari, $\cos$ pari; $\max=1$, $\min=-1$ |
| $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ | $\R\setminus\left\{\frac\pi2+k\pi\right\}$ | $\R$ | periodo $\pi$; illimitata: $\sup=+\infty$, $\inf=-\infty$ |
| $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ | $\R\setminus\{k\pi\}$ | $\R$ | periodo $\pi$; illimitata |
| (d) $\arcsin x$ | $[-1,1]$ | $\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ | inversa di $\sin$ ristretto a $\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$; crescente |
| $\arccos x$ | $[-1,1]$ | $[0,\pi]$ | inversa di $\cos$ ristretto a $[0,\pi]$; decrescente |
| $\arctan x$ | $\R$ | $\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$ | inversa di $\tan$ ristretta a $\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$; crescente, limitata |
| $\operatorname{arccot} x$ | $\R$ | $(0,\pi)$ | inversa di $\cot$ ristretta a $(0,\pi)$; decrescente, limitata |
| (e) $a^x$, $a>0$, $a\ne1$ | $\R$ | $(0,+\infty)$ | $a>1$ crescente, $0\lt a\lt 1$ decrescente; $\inf=0$ (non è minimo), $\sup=+\infty$; biettiva su $(0,+\infty)$ |
| $\log_a x$ | $(0,+\infty)$ | $\R$ | inversa di $a^x$: $a^x=y\iff x=\log_a y$ |
| (g) $|x|$ | $\R$ | $[0,+\infty)$ | pari; $\min=0$, $\sup=+\infty$ |
| (h) $[x]$, parte intera | $\R$ | $\Z$ | il più grande intero $\le x$; grafico «a gradini» |
| (i) $\operatorname{sgn}x$ | $\R$ | $\{-1,0,1\}$ | $1$ se $x>0$, $0$ se $x=0$, $-1$ se $x\lt 0$; dispari |
| (l) $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}2$ | $\R$ | $\R$ | dispari, strettamente crescente |
| $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}2$ | $\R$ | $[1,+\infty)$ | pari, $\min=\cosh0=1$ |
| $\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}$ | $\R$ | $(-1,1)$ | dispari, crescente, limitata: $\sup=1$, $\inf=-1$, né max né min |
$$\cosh^2x-\sinh^2x=1\qquad\forall x\in\R.$$ Verifica: $\cosh^2x-\sinh^2x=\frac{(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2}{4}=\frac{4\,e^xe^{-x}}{4}=1$. Quindi il punto $(\cosh x,\sinh x)$ sta sull'iperbole equilatera $x^2-y^2=1$: è da qui che viene il nome «iperboliche», come $(\cos x,\sin x)$ sta sulla circonferenza $x^2+y^2=1$.
- La parte intera dei negativi. $[-0{,}5]=-1$, non $0$; $[-\pi]=-4$, non $-3$. È il più grande intero minore o uguale a $x$, quindi per i negativi si va «verso sinistra».
- $x^{1/3}$ sui negativi. Nel corso $x^{p/q}$ con $q$ dispari è definita su tutto $\R$, per esempio $\sqrt[3]{-8}=-2$. Molti libri e la calcolatrice la definiscono solo per $x\ge0$: segui il corso.
- Gli estremi di $\arctan$ e $\operatorname{arccot}$. La tangente si restringe all'intervallo aperto $\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$, perché in $\pm\frac\pi2$ non è definita. Negli appunti a pagina 7 l'intervallo è scritto chiuso: è un refuso. Lo stesso vale per la cotangente su $(0,\pi)$.
3 · Successioni numeriche
Una successione è una funzione $a:\N\to\R$; si scrive $a_n$ per $a(n)$ e $(a_n)_{n\in\N}$ per la successione. Il dominio può essere $\{n\ge n_0\}$. Il grafico è un insieme di punti isolati $(n,a_n)$, non una curva.
Notazione degli appunti: $\{a_n\}_{n\in\N}$ per la successione, $\operatorname{Im}a_n$ per l'insieme dei suoi valori. Per esempio $a_n=(-1)^n$ ha $\operatorname{Im}a_n=\{-1,1\}$. Altri esempi della lezione: $a_n=n^2$ (cioè $0,1,4,9,\dots$) e $a_n=n!$, con $n!=n(n-1)\cdots1$ e $0!=1$ (cioè $1,1,2,6,24,\dots$).
- limitata superiormente (inferiormente) se $\operatorname{Im}a_n$ lo è: $\exists M\in\R:\ a_n\le M\ \forall n$ $\bigl(\exists m\in\R:\ a_n\ge m\ \forall n\bigr)$;
- strettamente crescente se $a_n\lt a_{n+1}\ \forall n$; crescente se $a_n\le a_{n+1}\ \forall n$; analogamente (strettamente) decrescente;
- monotòna se vale una delle quattro; strettamente monotòna se vale una delle due strette.
$\max\{a_n\}:=\max\operatorname{Im}a_n$, e così $\min$, $\sup$, $\inf$. In pratica: $$\sup\{a_n\}=\Lambda\iff\begin{cases}\text{(i)}\ a_n\le\Lambda\quad\forall n\\ \text{(ii)}\ \forall\eps>0\ \exists n_\eps:\ a_{n_\eps}>\Lambda-\eps\end{cases}\qquad \inf\{a_n\}=\lambda\iff\begin{cases}\text{(i)}\ a_n\ge\lambda\quad\forall n\\ \text{(ii)}\ \forall\eps>0\ \exists n_\eps:\ a_{n_\eps}\lt\lambda+\eps\end{cases}$$ e $\max\{a_n\}=M$ se $a_n\le M$ per ogni $n$ e $\exists n_0$ con $a_{n_0}=M$.
Per la monotonia si studia la disuguaglianza $a_n\lt a_{n+1}$ (o il segno di $a_{n+1}-a_n$; se $a_n>0$ si può confrontare $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ con $1$).
Gli esempi svolti a lezione
$a_n=n^3$ è strettamente crescente: $n^3\lt(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1$, vero per ogni $n$ perché $3n^2+3n+1>0$.
$b_n=\frac1n$ è strettamente decrescente: $\frac1n>\frac1{n+1}\iff n+1>n$, sempre vero.
$c_n=(-1)^n$ non è monotòna: i termini alternano $1,-1,1,\dots$
$a_n=n^3$ è illimitata superiormente: si deve mostrare che $\forall M\ \exists n_0:\ a_{n_0}>M$. Fissato $M$, si ha $n^3>M\iff n>\sqrt[3]M$, e basta prendere $n_0=\left[\sqrt[3]M\right]+1$. Se $M\lt 0$ va bene qualunque $n$: per stare sicuri si può prendere $n_0=\max\left\{0,\left[\sqrt[3]M\right]+1\right\}$, che è sempre un naturale.
$b_n=\frac1n$ ($n\ge1$): $\max=1$, $\inf=0$ ma niente minimo. Il massimo: $\frac1n\le1$ per ogni $n$ e $b_1=1$. L'estremo inferiore: (i) $\frac1n\ge0$ per ogni $n$; (ii) fissato $\eps>0$, si cerca $n_\eps$ con $\frac1{n_\eps}\lt 0+\eps\iff n_\eps>\frac1\eps$, e basta $n_\eps=\left[\frac1\eps\right]+1$. Il minimo non c'è perché $0\notin\operatorname{Im}b_n$. In alternativa: i minoranti di $\operatorname{Im}b_n$ sono $(-\infty,0]$, e $\inf=\max(-\infty,0]=0$.
Proprietà vere definitivamente
$P(n)$ è vera definitivamente se $\exists N\in\N$ tale che $P(n)$ è vera per ogni $n>N$. Equivalentemente: $P(n)$ è falsa al più per un numero finito di indici.
Il limite dipende solo dalla coda della successione: modificare o eliminare finiti termini non cambia né l'esistenza né il valore del limite. Per questo quasi tutte le ipotesi dei teoremi che seguono sono richieste solo «definitivamente».
Da non confondere con «per infiniti indici»: $(-1)^n>0$ vale per infiniti $n$, ma non definitivamente.
4 · Il limite di una successione
$$\lim_{n\to\infty}a_n=L\in\R\quad\overset{\text{def}}{\iff}\quad \forall\eps>0\ \ \exists N\in\N\ :\ \forall n>N,\quad |a_n-L|<\eps.$$
$$\lim_n a_n=+\infty\iff \forall M\in\R\ \exists N:\ \forall n>N,\ a_n>M;$$ $$\lim_n a_n=-\infty\iff \forall M\in\R\ \exists N:\ \forall n>N,\ a_n\lt M.$$
Il prof scrive $\ell$ per il limite e $\nu_\eps$ (si legge «nu epsilon») per l'indice: $$\lim_{n\to+\infty}a_n=\ell\iff\forall\eps>0\ \exists\nu_\eps\in\N:\ |a_n-\ell|\lt\eps\quad\forall n>\nu_\eps$$ $$\lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty\iff\forall M>0\ \exists\nu_M\in\N:\ a_n>M\quad\forall n>\nu_M$$ $$\lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty\iff\forall M>0\ \exists\nu_M\in\N:\ a_n\lt -M\quad\forall n>\nu_M$$
Sono le definizioni del riquadro sopra con altre lettere: chiedere $M>0$ invece di $M\in\R$ non cambia nulla. Lettura geometrica: i punti $P_n=(n,a_n)$ stanno definitivamente nella striscia $S_{\ell,\eps}=\{(x,y):|y-\ell|\lt\eps\}$, oppure nel semipiano $\{y>M\}$ per $+\infty$ e $\{y\lt -M\}$ per $-\infty$. All'esame usa pure la notazione del prof.
Le due verifiche con la definizione svolte a lezione
$\lim\frac1n=0$. Fissato $\eps>0$: $\left|\frac1n-0\right|\lt\eps\iff-\eps\lt\frac1n\lt\eps$. La disuguaglianza di sinistra è sempre vera, quella di destra equivale a $n>\frac1\eps$. Si prende $\nu_\eps=\left[\frac1\eps\right]+1$, e allora $\left|\frac1n-0\right|\lt\eps$ per ogni $n>\nu_\eps$.
$\lim n^2=+\infty$. Fissato $M>0$: $n^2>M\iff n>\sqrt M$, perché $n\ge0$ e la soluzione $n\lt -\sqrt M$ va scartata. Si prende $\nu_M=\left[\sqrt M\right]+1$, e allora $n^2>M$ per ogni $n>\nu_M$.
Come leggerla. «Comunque si scelga una striscia orizzontale attorno a $L$, per quanto sottile, tutti i termini da un certo indice in poi ci cadono dentro.» Fuori dalla striscia restano al più finiti termini. L'indice $N$ dipende da $\eps$ — più sottile è la striscia, più in là bisogna spostarsi — e per questo si scrive spesso $N(\eps)$.
Il gioco di ε e N
- convergente: ha limite finito;
- divergente: ha limite $+\infty$ o $-\infty$;
- regolare: ha limite (finito o infinito) — cioè convergente oppure divergente;
- irregolare (indeterminata, oscillante): non ha limite.
Come si dimostra che una successione è irregolare?
Esibendo due sottosuccessioni con limiti diversi. Se il limite esistesse, per unicità ogni sottosuccessione dovrebbe tendere allo stesso valore. Per $a_n=(-1)^n$: $a_{2k}=1\to1$ e $a_{2k+1}=-1\to-1$, dunque il limite non esiste. È l'unico metodo che ti serve nella prima parte del corso.
Negare la definizione (Lezione 6): $a_n\not\to\ell$ se $\exists\eps>0$ tale che infiniti punti $P_n=(n,a_n)$ stanno fuori dalla striscia $S_{\ell,\eps}$. Se questo vale per ogni $\ell\in\R$, la successione non ha limite finito.
Gli esempi della lezione. $a_n=\sin(n\pi)$ vale $0$ per ogni $n$, quindi ha limite $0$, anche se «sembra» oscillare. Invece $a_n=\sin\left(n\frac\pi2\right)$ vale $0,1,0,-1,0,1,\dots$: $a_{2k}\to0$, $a_{4k+1}\to1$, $a_{4k+3}\to-1$, quindi non ammette limite.
Unicità del limite dim. scritto · n° 5
Se una successione $\{a_n\}$ ammette limite, allora questo è unico: se $a_n\to\ell_1$ e $a_n\to\ell_2$, allora $\ell_1=\ell_2$.
Dimostrazione a passi coperti
Lettura geometrica (il disegno degli appunti): con quell'$\eps$ le strisce $S_{\ell_1,\eps}$ e $S_{\ell_2,\eps}$ sono disgiunte, ma i punti $P_n$ dovrebbero stare definitivamente in entrambe.
Altra versione possibile (equivalente): con $\ell_1\lt\ell_2$ e $\eps=\frac{\ell_2-\ell_1}{2}$ si trova definitivamente $a_n\lt\frac{\ell_1+\ell_2}2\lt a_n$. Errore tipico in entrambe: prendere $\eps=|\ell_1-\ell_2|$ invece della metà, perché allora le strisce si sovrappongono e non nasce alcuna contraddizione.
Ogni successione convergente è limitata dim. scritto · n° 6
Se $a_n\to L\in\R$, allora esiste $M>0$ con $|a_n|\le M$ per ogni $n\in\N$.
Dimostrazione a passi coperti
Negli appunti la costante si chiama $K$ e l'indice $\nu_1$: $K:=\max\{|a_0|,\dots,|a_{\nu_1}|,\,1+|\ell|\}$, da cui $|a_n|\le K$ per ogni $n$. A pagina 6 i primi termini sono scritti senza valore assoluto: servono i moduli, altrimenti un termine molto negativo non verrebbe controllato.
$a_n=(-1)^n$ è limitata ma non converge. Tieni pronto questo controesempio: la domanda «vale anche il viceversa?» compare quasi sempre. Conseguenza utile in senso contrario: una successione non limitata non può convergere.
5 · I teoremi sui limiti
Se $a_n\to L\in\R$ e $b_n\to M\in\R$: $$a_n\pm b_n\to L\pm M,\qquad a_nb_n\to LM,\qquad \frac{a_n}{b_n}\to\frac LM\ (M\ne0),\qquad |a_n|\to|L|.$$
Per $L\in\R$: $L+\infty=+\infty$, $L\cdot(+\infty)=\pm\infty$ secondo il segno di $L$, $\frac{L}{\pm\infty}=0$, $\frac{L}{0^+}=\pm\infty$ secondo il segno di $L$.
Le sette forme indeterminate: $$\infty-\infty,\qquad 0\cdot\infty,\qquad \frac\infty\infty,\qquad \frac00,\qquad 1^\infty,\qquad \infty^0,\qquad 0^0.$$
Perché «indeterminata» e non «impossibile»?
Perché il limite esiste eccome, ma non è determinato dai soli limiti dei fattori. Con $a_n=n^2$ e $b_n=n$, entrambe $\to+\infty$: $a_n-b_n\to+\infty$; $b_n-a_n\to-\infty$; ma $(n+1)-n\to1$. Stessa forma $\infty-\infty$, tre risultati diversi. Servono informazioni più fini: gerarchia degli infiniti, limiti notevoli, o-piccoli.
L'algebra dei limiti in tabelle (Lezione 7)
Le tabelle della lezione, con $a_n\to a$ e $b_n\to b$. Una casella con «f.i.» è una forma indeterminata: il risultato dipende dalle successioni, non solo dai loro limiti.
| Somma $a_n+b_n$ | Prodotto $a_n\,b_n$ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| $a$ | $b$ | limite | $a$ | $b$ | limite |
| $a\in\R$ | $b\in\R$ | $a+b$ | $a\in\R$ | $b\in\R$ | $ab$ |
| $a\in\R$ | $\pm\infty$ | $\pm\infty$ | $a>0$ | $\pm\infty$ | $\pm\infty$ |
| $+\infty$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $a\lt 0$ | $\pm\infty$ | $\mp\infty$ |
| $-\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $\pm\infty$ | $\pm\infty$ | $+\infty$ |
| $+\infty$ | $-\infty$ | f.i. | $\pm\infty$ | $\mp\infty$ | $-\infty$ |
| $0$ | $\pm\infty$ | f.i. | |||
| Quoziente $\dfrac{a_n}{b_n}$ ($b_n\ne0$ definitivamente) | Potenza $a_n^{\,b_n}$ ($a_n>0$) | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| $a$ | $b$ | limite | $a$ | $b$ | limite |
| $a\in\R$ | $b\ne0$ | $\dfrac ab$ | $a>0$ | $b\in\R$ | $a^b$ |
| $a\in\R$ | $\pm\infty$ | $0$ | $0\le a\lt 1$ | $+\infty$ | $0$ |
| $\pm\infty$ | $b>0$ | $\pm\infty$ | $0\le a\lt 1$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
| $\pm\infty$ | $b\lt 0$ | $\mp\infty$ | $a>1$ | $+\infty$ | $+\infty$ |
| $a>0$ | $0$ | $+\infty$ se $b_n>0$ def. $-\infty$ se $b_n\lt 0$ def. non esiste altrimenti | $a>1$ | $-\infty$ | $0$ |
| $0$ | $0$ | f.i. | $+\infty$ | $b>0$ / $b\lt 0$ | $+\infty$ / $0$ |
| $\pm\infty$ | $\pm\infty$ | f.i. | $+\infty$ | $+\infty$ / $-\infty$ | $+\infty$ / $0$ |
Per $a\lt 0$ nel quoziente per $0$ i segni si scambiano. Il caso $a_n\to-\infty$ nelle potenze la lezione lo tralascia: apre troppi casi.
$$+\infty-\infty,\qquad 0\cdot(\pm\infty),\qquad \frac00,\qquad \frac{\pm\infty}{\pm\infty},\qquad 0^0,\qquad 1^{\pm\infty},\qquad (+\infty)^0.$$ E un caso che non è indeterminato ma spesso non esiste: $\dfrac{a}{b_n}$ con $a\ne0$ e $b_n\to0$ senza segno costante. Esempio della lezione: $a_n=1$, $b_n=\frac{(-1)^n}{n}\to0$, e $\frac{a_n}{b_n}=(-1)^n n$ non ha limite ($+\infty$ sui pari, $-\infty$ sui dispari).
Gli esempi della lezione: come si scioglie una forma indeterminata
- $(n+1)^2-(n-1)^2$ è $+\infty-\infty$; svolgendo i quadrati vale $4n\to+\infty$.
- $(n+1)^2-(n+3)^2$ è $+\infty-\infty$; vale $-4n-8\to-\infty$. Stessa forma, risultato opposto.
- $\dfrac{n+1}{n^2}=\dfrac{1+\frac1n}{n}\to0$ e $\dfrac{n-1}{n}=1-\dfrac1n\to1$: due forme $\frac{\infty}{\infty}$ con limiti diversi.
- $\dfrac{1/n^2}{1/n}=\dfrac1n\to0$ e $\dfrac{1/n^2}{1/n^3}=n\to+\infty$: due forme $\frac00$ con limiti diversi.
Teorema: limite della somma, dimostrato come a lezione dim. orale
Enunciato. Se $a_n\to a\in\R$ e $b_n\to b\in\R$, allora $a_n+b_n\to a+b$.
Permanenza del segno dim. scritto · n° 7
Se $a_n\to L$ con $L>0$, allora $a_n>\dfrac L2>0$ definitivamente. Simmetricamente per $L<0$.
Dimostrazione
Poiché $L>0$, la scelta $\eps=\frac L2>0$ è lecita. Per definizione $\exists N$ tale che, per $n>N$, $$|a_n-L|<\frac L2\iff L-\frac L2\lt a_n\lt L+\frac L2,$$ quindi in particolare $a_n>\frac L2>0$. $\blacksquare$
Se $L=+\infty$: applicando la definizione con $M=1$ si ottiene $a_n>1>0$ definitivamente.
I due corollari: il segno del limite e il confronto dim. orale
Lezione 7 (5 ottobre). La proprietà del confronto è nel programma con (**).
Se $a_n\to a$ e $a_n\ge0$ definitivamente, allora $$a\ge0.$$
Dimostrazione a passi coperti
Se $a_n\to a$, $b_n\to b$ (finiti) e $a_n\ge b_n$ definitivamente, allora $$a\ge b.$$
Dimostrazione a passi coperti
Alternativa diretta, senza corollario 1: per assurdo $a\lt b$; con $\eps=\frac{b-a}2$ si trova definitivamente $a_n\lt\frac{a+b}2\lt b_n$, contro $a_n\ge b_n$.
Anche con l'ipotesi stretta la tesi resta larga:
- $a_n>0$ per ogni $n$ e $a_n\to a$ $\Rightarrow$ $a\ge0$, non $a>0$. Controesempio: $a_n=\frac1n>0$, ma $a=0$.
- $a_n>b_n$ per ogni $n$ $\Rightarrow$ $a\ge b$, non $a>b$. Controesempio: $a_n=\frac1n>0=b_n$, ma i due limiti valgono entrambi $0$.
La permanenza va dal limite alla successione: limite $>0$ $\Rightarrow$ termini $>0$ definitivamente (stretto, perché la striscia attorno ad $a$ sta tutta sopra lo zero). Il corollario 1 va dalla successione al limite: termini $\ge0$ $\Rightarrow$ limite $\ge0$ (largo, perché i termini possono avvicinarsi a $0$ quanto vogliono). Non sono la stessa frase al contrario: cambia anche il tipo di disuguaglianza.
Teorema del confronto (due carabinieri) dim. scritto · n° 8
Se $a_n\le b_n\le c_n$ definitivamente e $a_n\to L$, $c_n\to L$ con $L\in\R$, allora $b_n\to L$.
Dimostrazione a passi coperti
Negli appunti le lettere sono diverse: $a_n\le c_n\le b_n$, quindi la successione «in mezzo» è $c_n$ e i carabinieri sono $a_n$ e $b_n$. Il ragionamento è identico.
Nota cruciale: l'esistenza del limite di $(b_n)$ non è ipotesi — è la tesi. È proprio questo a rendere il teorema utile su successioni «brutte» come $\frac{\sin n}{n}$.
Per i limiti infiniti basta un solo carabiniere: $$a_n\le b_n\ \ \forall n,\ \ a_n\to+\infty\ \Longrightarrow\ b_n\to+\infty;\qquad\qquad a_n\le b_n\ \ \forall n,\ \ b_n\to-\infty\ \Longrightarrow\ a_n\to-\infty.$$ Perché: se $a_n>M$ da un certo indice in poi, a maggior ragione $b_n\ge a_n>M$. È quello che si usa per dimostrare $a^n\to+\infty$ con Bernoulli.
Successioni infinitesime; infinitesima per limitata dim. orale
Lezione 8. Il (**) viene dalla guida allo studio della settimana 4.
$\{a_n\}$ si dice infinitesima se $a_n\to0$.
Lemma. $a_n\to0\iff|a_n|\to0$. (Basta guardare la definizione: $|a_n-0|=\bigl||a_n|-0\bigr|$.)
Siano $\{a_n\}$ limitata e $\{b_n\}$ infinitesima. Allora $a_nb_n\to0$.
Dimostrazione a passi coperti
- $\dfrac{\sin n}{n}=\sin n\cdot\dfrac1n\to0$: $|\sin n|\le1$ è limitata e $\frac1n$ è infinitesima. L'algebra dei limiti qui non serve a niente, perché $\sin n$ non ha limite.
- $a_n=n$ e $b_n=\frac1n$: $a_nb_n=1\to1$, non $0$. La limitatezza è necessaria: senza, il teorema è falso.
Regolarità delle successioni monotòne dim. scritto · n° 9
Ogni successione monotòna è regolare. Se $(a_n)$ è crescente, $$\lim_n a_n=\sup_n a_n,$$ finito se limitata superiormente, $+\infty$ altrimenti. Simmetricamente, se decrescente il limite è $\inf_n a_n$.
Dimostrazione a passi coperti
Il numero di Nepero
$$e:=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n}.$$
È una forma indeterminata $1^\infty$: non si può concludere direttamente. Si dimostra invece che $a_n=\left(1+\frac1n\right)^n$ è strettamente crescente e limitata superiormente (per esempio da $3$); per il teorema sulla regolarità delle successioni monotòne essa converge, e il limite si chiama $e$. Dietro, ancora una volta, c'è la completezza di $\R$.
Generalizzazione da ricordare: $\left(1+\frac cn\right)^{\alpha n}\to e^{\,\alpha c}$.
6 · Calcolo dei limiti
Limiti notevoli dim. orale
Per $x_n\to0$ (con $x_n\ne0$ definitivamente):
$$\frac{\sin x_n}{x_n}\to1,\quad \frac{1-\cos x_n}{x_n^{2}}\to\frac12,\quad \frac{\tan x_n}{x_n}\to1,\quad \frac{\arctan x_n}{x_n}\to1,$$ $$\frac{e^{x_n}-1}{x_n}\to1,\quad \frac{\ln(1+x_n)}{x_n}\to1,\quad \frac{(1+x_n)^{\alpha}-1}{x_n}\to\alpha.$$
I limiti notevoli della Lezione 8, con le dimostrazioni
Nell'ordine e con le lettere della lezione. Sono il (**) «limiti notevoli» del programma: all'orale si chiede di dimostrarli.
$$\lim_{n\to\infty}a^n=\begin{cases}+\infty & a>1\\ 1 & a=1\\ 0 & -1\lt a\lt 1\\ \text{non esiste} & a\le-1\end{cases}$$
Dimostrazione a passi coperti
Se $a>0$, allora $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1$. Inoltre, per ogni $b\in\R$, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^b}=1$.
Dimostrazione a passi coperti (il caso $\sqrt[n]a$)
Se $a_n\to+\infty$ oppure $a_n\to-\infty$, allora per ogni $\alpha\in\R$ $$\left(1+\frac{\alpha}{a_n}\right)^{a_n}\longrightarrow e^{\alpha}.$$
Per $0\lt |x|\le\dfrac\pi2$: $$\cos x\lt\frac{\sin x}{x}\lt 1.$$
Dimostrazione con le aree (il disegno della lezione)
Nella circonferenza unitaria con centro $A$, sia $B=(1,0)$, $C$ il punto dell'arco a distanza angolare $x\in\left(0,\frac\pi2\right)$ da $B$, e $D$ il punto della retta tangente in $B$ allineato con $A$ e $C$. Le tre figure sono una dentro l'altra: $$\text{triangolo }ABC\ \subset\ \text{settore }ACB\ \subset\ \text{triangolo }ABD\quad\Longrightarrow\quad \frac{\sin x}{2}\lt\frac x2\lt\frac{\tan x}{2}.$$
Moltiplicando per $\frac{2}{\sin x}>0$: $1\lt\dfrac{x}{\sin x}\lt\dfrac{1}{\cos x}$. Sono tutti positivi, quindi passando ai reciproci il verso si inverte: $\cos x\lt\dfrac{\sin x}{x}\lt1$.
Per $x\lt 0$: $\cos x$ è pari e $\frac{\sin x}{x}$ è pari (rapporto di due funzioni dispari), quindi la disuguaglianza vale anche in $\left[-\frac\pi2,0\right)$. $\blacksquare$
Il disegno funziona per $0\lt x\lt\frac\pi2$: in $x=\frac\pi2$ la tangente non è definita e il triangolo $ABD$ non esiste. Lì la disuguaglianza si verifica a mano: $0\lt\frac2\pi\lt1$.
Se $a_n\to0$ (e $a_n\ne0$ dove serve dividere): $$\sin a_n\to0,\qquad \cos a_n\to1,\qquad \frac{\sin a_n}{a_n}\to1,\qquad \frac{1-\cos a_n}{a_n^2}\to\frac12.$$
Dimostrazione a passi coperti
Se $a_n\to0$ con $a_n\ne0$, e $\alpha\in\R$: $$(1+a_n)^{1/a_n}\to e,\qquad \frac{\log(1+a_n)}{a_n}\to1,\qquad \frac{e^{a_n}-1}{a_n}\to1,\qquad \frac{(1+a_n)^{\alpha}-1}{a_n}\to\alpha.$$ Negli appunti «$\log$» è il logaritmo naturale, in base $e$.
Dimostrazione dei primi tre (a passi coperti)
Serve che $b_n\to+\infty$ o $b_n\to-\infty$, cioè che $a_n$ abbia segno costante definitivamente; se cambia segno infinite volte si ragiona separatamente sui termini positivi e su quelli negativi.
L'ultimo, $\frac{(1+a_n)^\alpha-1}{a_n}\to\alpha$, a lezione è stato solo enunciato.
(f) Rapporto tra polinomi
Siano $P(n)=a_kn^k+\dots+a_0$ di grado $k$ ($a_k\ne0$) e $Q(n)=b_hn^h+\dots+b_0$ di grado $h$ ($b_h\ne0$). Per $k,h\ge1$ il rapporto è una forma $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$; raccogliendo il monomio di grado massimo sopra e sotto: $$\frac{P(n)}{Q(n)}=\frac{n^k\left(a_k+a_{k-1}\frac1n+\dots+a_0\frac1{n^k}\right)}{n^h\left(b_h+b_{h-1}\frac1n+\dots+b_0\frac1{n^h}\right)}\longrightarrow\begin{cases}+\infty & k>h,\ \frac{a_k}{b_h}>0\\[3pt] -\infty & k>h,\ \frac{a_k}{b_h}\lt 0\\[3pt] \frac{a_k}{b_h} & k=h\\[3pt] 0 & k\lt h\end{cases}$$
Esempio della lezione: $\dfrac{n^5+n^4-2n^2}{-2n^3-n^2-2n}=n^2\cdot\dfrac{1+\frac1n-\frac2{n^3}}{-2-\frac1n-\frac2{n^2}}\to-\infty$: $k=5>h=3$ e $\frac{a_k}{b_h}=-\frac12\lt 0$.
Criterio del rapporto per successioni
Sia $a_n>0$ e $b_n:=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$. Se $b_n\to b\lt 1$, allora $a_n\to0$.
Perché funziona (a lezione solo enunciato)
Si sceglie $q$ con $b\lt q\lt 1$. Definitivamente, da un certo $N$ in poi, $\frac{a_{n+1}}{a_n}\lt q$, cioè $a_{n+1}\lt q\,a_n$. Iterando, $0\lt a_{N+k}\lt q^k a_N$, e $q^ka_N\to0$ per la (a), perché $0\lt q\lt 1$. Carabinieri: $a_n\to0$. $\blacksquare$
Se $b>1$ invece $a_n\to+\infty$; se $b=1$ il criterio non dice niente ($\frac1n$ e $n$ hanno entrambe rapporto che tende a $1$).
$$\frac{n^b}{\alpha^n}\to0\ \ (b>0,\ \alpha>1),\qquad\frac{\alpha^n}{n!}\to0\ \ (\alpha>1),\qquad\frac{n!}{n^n}\to0.$$
Dimostrazioni con il criterio del rapporto
- $a_n=\dfrac{n^b}{\alpha^n}$: $\ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^b\dfrac1\alpha=\left(1+\dfrac1n\right)^b\dfrac1\alpha\to\dfrac1\alpha\lt 1$.
- $a_n=\dfrac{\alpha^n}{n!}$: $\ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\alpha^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\dfrac{n!}{\alpha^n}=\dfrac{\alpha}{n+1}\to0\lt 1$, perché $(n+1)!=(n+1)\,n!$.
- $a_n=\dfrac{n!}{n^n}$: $\ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\dfrac{n^n}{n!}=\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n=\dfrac{1}{\left(1+\frac1n\right)^n}\to\dfrac1e\lt 1$.
Per $a>1$ e $b>0$: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\log_a n}{n^b}=0$ (forma $\frac\infty\infty$).
Dimostrazione a passi coperti
Gerarchia degli infiniti dim. orale
Per $n\to+\infty$, con $\alpha,\beta>0$ e $a>1$: $$(\ln n)^{\beta}\ \ll\ n^{\alpha}\ \ll\ a^{\,n}\ \ll\ n!\ \ll\ n^{\,n},$$ dove $x_n\ll y_n$ significa $\dfrac{x_n}{y_n}\to0$.
Come si dimostra ogni anello
Si usa il criterio del rapporto per successioni: se $c_n>0$ e $\frac{c_{n+1}}{c_n}\to\ell<1$, allora $c_n\to0$.
- $\dfrac{n^\alpha}{a^n}$: $\dfrac{c_{n+1}}{c_n}=\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{\alpha}\cdot\dfrac1a\to\dfrac1a<1$.
- $\dfrac{a^n}{n!}$: $\dfrac{c_{n+1}}{c_n}=\dfrac{a}{n+1}\to0<1$.
- $\dfrac{n!}{n^n}$: $\dfrac{c_{n+1}}{c_n}=\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n}=\dfrac{1}{\left(1+\frac1n\right)^{n}}\to\dfrac1e<1$.
- $\dfrac{(\ln n)^\beta}{n^\alpha}=\left(\dfrac{\ln n}{n^{\alpha/\beta}}\right)^{\beta}$, e $\dfrac{\ln n}{n^{\alpha/\beta}}\to0$ per il limite notevole (h), quello dimostrato a lezione con $2^x>x$.
Equivalenze asintotiche e o-piccoli
Con $b_n\ne0$ definitivamente: $$a_n=o(b_n)\ \overset{\text{def}}{\iff}\ \frac{a_n}{b_n}\to0\quad\text{(«$a_n$ è trascurabile rispetto a $b_n$»)},$$ $$a_n\sim b_n\ \overset{\text{def}}{\iff}\ \frac{a_n}{b_n}\to1\quad\text{(«asintoticamente equivalenti»)}.$$ Legame: $a_n\sim b_n\iff a_n=b_n+o(b_n)$. Inoltre $a_n\to0\iff a_n=o(1)$.
- $o(b_n)\pm o(b_n)=o(b_n)$ e $c\cdot o(b_n)=o(b_n)$ per $c\ne0$;
- $a_n\cdot o(b_n)=o(a_nb_n)$; $o(a_n)\cdot o(b_n)=o(a_nb_n)$; $o(o(b_n))=o(b_n)$;
- assorbimento: se $a_n=o(b_n)$ allora $a_n+b_n\sim b_n$;
- per $x\to0$: $o(x^{\alpha})+o(x^{\beta})=o(x^{\beta})$ se $\alpha>\beta$ — vince l'esponente più piccolo.
$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3),\qquad \cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4),\qquad \tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3),$$ $$e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2),\qquad \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2),\qquad (1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+o(x),$$ $$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3).$$
- Mai sostituire dentro una somma. Da $n+1\sim n$ e $-n\sim-n$ non segue $(n+1)-n\sim n-n$: il primo membro vale $1$, il secondo $0$. Si sostituisce solo in prodotti, quozienti e potenze.
- Spingi tutti gli sviluppi allo stesso ordine. Se ti fermi troppo presto ottieni $\frac{o(x)}{x^2}$, che non è determinato; se ti fermi a ordini diversi, produci cancellazioni illecite. Guarda quale ordine serve al denominatore e sviluppa il numeratore almeno fino a lì.
Mettiti alla prova
Errori tipici della Sezione 2
- Passare al limite conservando la disuguaglianza stretta. $a_n>0\Rightarrow L\ge0$, non $L>0$.
- Credere che «limitata» implichi «convergente». $(-1)^n$.
- Dedurre $a_n\to L$ da $|a_n|\to|L|$. Vale solo per $L=0$.
- Usare l'algebra dei limiti su forme indeterminate, oppure su successioni di cui non si è verificata l'esistenza del limite.
- Nel teorema dei carabinieri, supporre che $b_n$ abbia limite. È la tesi.
- Sostituire equivalenze asintotiche dentro somme o dentro esponenti e logaritmi.
- Fermare gli sviluppi all'ordine sbagliato e ritrovarsi con $\frac{o(x)}{x^2}$.
- Scrivere $\frac{1-\cos x}{x^2}\to1$. Fa $\frac12$.
- Passare al limite in una successione ricorsiva prima di aver dimostrato che il limite esiste. Monotonia + limitatezza vanno provate prima.