Serie numeriche
Sommare infiniti addendi. La sorpresa della sezione è che quasi mai si calcola la somma: si stabilisce soltanto se esiste. Tutti i criteri che vedrai sono modi diversi per rispondere a questa domanda senza fare il conto.
Una serie è una successione: quella delle somme parziali. Tutti i teoremi di questa sezione sono applicazioni di due risultati che conosci già dalla Sezione 2 — «crescente e limitata superiormente ⇒ convergente» e il criterio del confronto. Se ti sembra materia nuova, torna al teorema sulla regolarità delle successioni monotòne.
Checklist del programma
1 · Serie, somme parziali, carattere
Data $(a_n)_{n\ge0}$, la somma parziale $n$-esima è $$s_n:=\sum_{k=0}^{n}a_k=a_0+a_1+\dots+a_n.$$ La serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ è, per definizione, la successione $(s_n)$.
Il carattere della serie è il comportamento di $(s_n)$: convergente se $s_n\to S\in\R$ ($S$ è la somma); divergente se $s_n\to\pm\infty$; indeterminata se $(s_n)$ non ha limite.
Condizione necessaria per la convergenza dim. scritto · n° 10
Se $\displaystyle\sum_n a_n$ converge, allora $a_n\to0$.
Dimostrazione a passi coperti
La serie armonica $\sum_{n\ge1}\frac1n$ ha $\frac1n\to0$ e tuttavia diverge. Altri controesempi: $\sum\frac{1}{\sqrt n}$, $\sum\ln\left(1+\frac1n\right)$, $\sum(\sqrt{n+1}-\sqrt n)$ — tutte con termine infinitesimo e tutte divergenti.
Come test di non convergenza, ed è la prima cosa da fare in ogni esercizio: se $a_n\not\to0$, hai già finito — la serie non converge. Se invece $a_n\to0$, il test non dice nulla e devi passare ai criteri. Dieci secondi di controllo che a volte risolvono l'esercizio da soli.
Serie a termini non negativi dim. orale
Se $a_n\ge0$ per ogni $n$, la serie $\sum a_n$ è regolare: o converge, o diverge a $+\infty$. Non può essere indeterminata. Inoltre $$\sum_n a_n\ \text{converge}\iff (s_n)\ \text{è limitata superiormente},$$ e in tal caso la somma è $\sup_n s_n$.
Dimostrazione (due righe)
$s_{n+1}-s_n=a_{n+1}\ge0$, dunque $(s_n)$ è crescente. Per il teorema sulla regolarità delle successioni monotòne, $(s_n)$ è regolare: converge a $\sup_n s_n$ se limitata superiormente, diverge a $+\infty$ altrimenti. $\blacksquare$
È il risultato che rende possibili tutti i criteri che seguono: per decidere il carattere di una serie a termini positivi basta stabilire se le somme parziali sono limitate — e per farlo si confronta con una serie di cui si sa già tutto.
2 · Le serie di riferimento
Serie geometrica dim. orale
$$\sum_{n=0}^{\infty}q^{n}=\begin{cases}\dfrac{1}{1-q} & |q|<1\quad\text{(converge)}\\[8pt] +\infty & q\ge1\quad\text{(diverge)}\\[4pt] \text{non esiste} & q\le-1\quad\text{(indeterminata).}\end{cases}$$
Dimostrazione
Per $q\ne1$ la somma parziale è nota in forma chiusa: $s_n=\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q}$.
- $|q|<1$: $q^{n+1}\to0$, quindi $s_n\to\dfrac{1}{1-q}$.
- $q>1$: $q^{n+1}\to+\infty$ e $1-q<0$, quindi $s_n\to+\infty$.
- $q=1$: $s_n=n+1\to+\infty$.
- $q=-1$: $s_n$ vale alternativamente $1$ e $0$: nessun limite.
- $q<-1$: $q^{n+1}$ è irregolare e illimitata, dunque $s_n$ non ha limite. $\blacksquare$
Se la serie parte da $n=n_0$: $$\sum_{n=n_0}^{\infty}q^{n}=\frac{q^{\,n_0}}{1-q}\qquad(|q|<1),$$ cioè primo termine diviso $1-q$. È l'errore più comune negli esercizi a risposta numerica: usare $\frac1{1-q}$ quando la serie non parte da zero.
Serie armonica e armonica generalizzata
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}\quad\text{converge}\iff\alpha>1,\qquad\text{diverge}\iff\alpha\le1.$$ In particolare la serie armonica ($\alpha=1$) diverge.
Perché la serie armonica diverge — la dimostrazione di Oresme
Si raggruppano i termini in blocchi di lunghezza $2^k$: $$1+\frac12+\underbrace{\left(\frac13+\frac14\right)}_{>\,2\cdot\frac14=\frac12}+\underbrace{\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\right)}_{>\,4\cdot\frac18=\frac12}+\underbrace{\left(\frac19+\dots+\frac1{16}\right)}_{>\,8\cdot\frac1{16}=\frac12}+\dots$$ Ogni blocco ha somma maggiore di $\frac12$, quindi $s_{2^m}>1+\frac m2\to+\infty$: le somme parziali non sono limitate. $\blacksquare$
La crescita è lentissima — $s_n\approx\ln n$ — ma è comunque illimitata. Servono più di $10^{43}$ termini per superare $100$.
$$\sum_{n\ge2}\frac{1}{n(\ln n)^{\beta}}\ \text{converge}\iff\beta>1;\qquad \sum_{n\ge2}\frac{1}{n^{\alpha}(\ln n)^{\beta}}\ \text{converge se }\alpha>1\ \text{(per ogni }\beta\text{)}.$$ Quando $\alpha>1$ la potenza domina e il logaritmo è irrilevante; è solo nel caso critico $\alpha=1$ che il logaritmo decide.
Serie telescopiche
Una serie si dice telescopica se $a_n=b_n-b_{n+1}$ per qualche successione $(b_n)$. Allora $$s_n=\sum_{k=0}^{n}(b_k-b_{k+1})=b_0-b_{n+1},$$ e la serie converge se e solo se $(b_n)$ converge, con somma $b_0-\lim_n b_n$.
Sono fra le pochissime serie di cui si sa calcolare la somma esatta: se l'esercizio chiede «calcolare la somma», quasi certamente è telescopica o geometrica. Segnali: un prodotto al denominatore da spezzare in fratti semplici, oppure una differenza di due termini «consecutivi». $$\sum_{n\ge1}\frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n\ge1}\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)=1,\qquad \sum_{n\ge1}\ln\!\left(1+\frac1n\right)=\lim_n\ln(n+1)=+\infty.$$ Nota il secondo: telescopica divergente. Telescopica non significa convergente.
3 · I criteri per serie a termini non negativi
Criterio del confronto dim. scritto · n° 11
Sia $0\le a_n\le b_n$ definitivamente. Allora:
• se $\sum b_n$ converge, converge anche $\sum a_n$;
• se $\sum a_n$ diverge, diverge anche $\sum b_n$.
Dimostrazione a passi coperti
L'ipotesi $a_n\ge0$ è essenziale: senza di essa le somme parziali non sono monotòne e l'argomento crolla.
Criterio del confronto asintotico dim. scritto · n° 12
Siano $a_n\ge0$, $b_n>0$ definitivamente ed esista $\ \ell=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\in[0,+\infty]$.
- $\ell\in(0,+\infty)$ ⟹ le due serie hanno lo stesso carattere;
- $\ell=0$ e $\sum b_n$ converge ⟹ $\sum a_n$ converge;
- $\ell=+\infty$ e $\sum b_n$ diverge ⟹ $\sum a_n$ diverge.
Dimostrazione a passi coperti
Se $a_n\ge0$ e $\ a_n\sim\dfrac{c}{n^{\alpha}}$ con $c>0$, allora $$\sum a_n\ \text{converge}\iff\alpha>1.$$ Il metodo: scrivi $a_n$, tieni solo i termini dominanti di numeratore e denominatore, sostituisci i limiti notevoli ($\sin\frac1n\sim\frac1n$, $1-\cos\frac1n\sim\frac1{2n^2}$, $\ln(1+\frac1n)\sim\frac1n$), leggi l'esponente $\alpha$.
Criterio del rapporto dim. scritto · n° 13
Sia $a_n>0$ definitivamente ed esista $L=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$. Allora: $L<1$ ⟹ converge; $L>1$ (anche $+\infty$) ⟹ diverge; $L=1$ ⟹ il criterio non decide.
Dimostrazione a passi coperti
Criterio della radice
Sia $a_n\ge0$ definitivamente ed esista $L=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}$. Allora: $L<1$ ⟹ converge; $L>1$ ⟹ diverge; $L=1$ ⟹ non decide.
Idea. Se $L<1$, scelto $q\in(L,1)$, definitivamente $\sqrt[n]{a_n}\lt q$ cioè $a_n\lt q^n$: confronto con la geometrica. Se $L>1$, definitivamente $a_n>1$, quindi $a_n\not\to0$.
Se esiste il limite del rapporto, esiste anche quello della radice e coincide: la radice è (leggermente) più potente. Ma i casi $L=1$ restano indecisi per entrambi.
| Se nel termine generale vedi… | Usa… | Esempio |
|---|---|---|
| polinomi, radici, potenze di $n$ | confronto asintotico con $n^{-\alpha}$ | $\frac{2n^2+1}{n^4+3n}$ |
| fattoriali, o esponenziali $a^n$ | criterio del rapporto | $\frac{n!}{n^n}$, $\frac{2^n}{n!}$ |
| una potenza $n$-esima $(\cdots)^n$ | criterio della radice | $\left(\frac{n+2}{3n-1}\right)^n$ |
| $\sin$, $\cos$, $\ln$, $e$ di qualcosa che $\to0$ | sostituisci col limite notevole, poi asintotico | $\sin\frac1{\sqrt n}$ |
| un prodotto al denominatore | prova i fratti semplici: telescopica | $\frac{1}{n(n+1)}$ |
| $(-1)^n$ | assoluta prima, poi Leibniz | $\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ |
| $a_n\not\to0$ | condizione necessaria: hai già finito | $\frac{n}{2n+1}$ |
4 · Serie a segno variabile
Criterio di Leibniz
Sia $\displaystyle\sum_n(-1)^{n}b_n$ con $(b_n)$ tale che (i) $b_n\ge0$; (ii) $(b_n)$ decrescente (almeno definitivamente); (iii) $b_n\to0$. Allora la serie converge.
Inoltre vale la stima dell'errore: $\ |S-s_n|\le b_{n+1}$, e la somma $S$ è sempre compresa fra due somme parziali consecutive.
In particolare la monotonia: senza di essa il criterio può fallire anche con $b_n\to0$. E se $b_n\not\to0$ il criterio non si applica affatto — in quel caso la condizione necessaria dice già che la serie non converge.
Convergenza assoluta dim. scritto · n° 14
$\sum_n a_n$ converge assolutamente se converge $\sum_n|a_n|$.
La convergenza assoluta implica la convergenza semplice, e $\left|\sum_n a_n\right|\le\sum_n|a_n|$.
Dimostrazione a passi coperti
In una serie assolutamente convergente si possono riordinare i termini senza cambiare la somma. In una serie semplicemente convergente no: per il teorema di Riemann sul riordinamento, riordinandola si può ottenere qualunque somma si voglia — anche $+\infty$. La convergenza assoluta è quindi molto più robusta.
5 · La strategia operativa
- $a_n\to0$? Se no, la serie non converge: hai finito in una riga.
- È geometrica o telescopica? Allora si calcola anche la somma.
- I termini sono definitivamente $\ge0$?
- Sì → confronto asintotico con $n^{-\alpha}$; se ci sono fattoriali o esponenziali, rapporto; se c'è una potenza $n$-esima, radice.
- No → passa ai moduli e studia $\sum|a_n|$. Se converge, hai finito (assoluta ⟹ semplice). Se diverge e la serie è alternata, prova Leibniz.
- Scrivi la conclusione per esteso, citando il criterio usato e verificandone le ipotesi. Nella terza parte della prova (svolgimento dettagliato) i punti stanno lì, non nel risultato.
Mettiti alla prova
Errori tipici della Sezione 3
- Concludere che la serie converge perché $a_n\to0$. Condizione necessaria, non sufficiente. Controesempio: $\sum\frac1n$.
- Usare $\frac{1}{1-q}$ quando la serie geometrica non parte da $n=0$. La formula è primo termine diviso $1-q$.
- Applicare il criterio del confronto a serie con termini di segno variabile. Serve $a_n\ge0$.
- Concludere qualcosa quando il rapporto o la radice danno $L=1$. Il criterio non decide: passa all'asintotico.
- Sbagliare la semplificazione dei fattoriali. $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$ e $(2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!$.
- Applicare Leibniz senza verificare la monotonia, o applicarlo quando $b_n\not\to0$.
- Confondere «$\sum|a_n|$ diverge» con «$\sum a_n$ diverge». Dal fallimento dell'assoluta non segue nulla sulla semplice.
- Nel confronto asintotico con $\ell=0$, concludere anche quando $\sum b_n$ diverge. Quella implicazione non c'è.
- Dimenticare di indicare quale criterio si sta usando. Nella terza parte della prova è richiesto lo svolgimento «completo e dettagliato»: il nome del criterio e la verifica delle ipotesi sono parte della risposta.